Sổ tay cá nhân

Cho $\triangle ABC$ , biết $ 0<A\leq B\leq C\leq \frac{\pi}{2}$, chứng minh rằng:
   $\frac{2\cos 3C-4\cos 2C+1}{\cos C}\geq 2       (1)$

Cho $\triangle ABC$ nhọn, chứng minh rằng:
a. $\tan A+\tan B+\tan C \geq \cot\frac{A}{2} +\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2} $.
b. $\sqrt{\tan A}+\sqrt{\tan B}+\sqrt{\tan C}\geq \sqrt{ \cot\frac{A}{2} }+\sqrt{ \cot\frac{B}{2} }+\sqrt{ \cot\frac{C}{2} }$

Ta có bất đẳng thức sau:
    $\frac{1}{n-1}(x_1+x_2+...+x_n)^2\leq (\frac{a_1^{m+1}}{S-a_1}+...+\frac{a_n^{m+1}}{S-a_n})(\frac{x_1^2}{a_1^m}+\frac{x_2^2}{a_2^m}+...+\frac{x_n^2}{a_n^m})$
Với mọi $m,n\in \mathbb{N}; m\geq2, S=a_1+a_2+...+a_n$

Cho các số thực $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$. Chứng minh rằng:
  $\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yz)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3} .  (1)$

Cho $f,g: [a,b] \to R$ liên tục:
a.Nếu $f,g$  đều là hàm tăng.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)dx \geq  \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}f(x) dx. \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}g(x)dx $ 
b.Nếu $f$ hàm  tăng, $g$ hàm giảm. Chứng minh rằng:
$ \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)dx \le \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}f(x) dx. \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}g(x)dx $ 

\begin{cases}2x+y=\frac{3}{x^2} \\ 2y+x=\frac{3}{y^2} \end{cases}

Chứng minh rằng
a) $C^{m-1}_{n-1}=\frac{m}{n}.C^{m}_{n}  (1\leq m\leq n)$

b) $C^{m}_{m+n}=C^{m}_{m+n-1}+C^{n}_{m+n-1}  (1\leq m,n)$

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
​\[A = \frac{a}{{\sqrt b }} + \frac{b}{{\sqrt c }} + \frac{c}{{\sqrt a }}\]
Trong đó các số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=3.$