CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
Trong chương trình đại số ở trường phổ thông chúng ta chỉ học một loại phương
trình bậc bốn đặc biệt. Đó là phương trình trùng phương. Tuy nhiên trong các đề
thi đại học thì dạng phương trình thường khai triển và đưa về dạng phương trình
bậc bốn không thuộc dạng trùng phương
Sau đây xin giới thiệu với các bạn cách giải các phương trình bậc bốn dạng
${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ trong đó $a,b,c,d$ là các số thực khác
không:
1. Biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một số trường hợp cụ thể
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định
3. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4
4. Phương pháp đồ thị.
CÁC PHƯƠNG PHÁP:
1. Biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một
số trường hợp cụ thể.
Ví dụ 1.
Giải phương trình ${\left( {{x^2} - a} \right)^2} - 6{x^2} + 4x + 2a =
0$ (1)
Giải:
Phương trình (1) được viết thành
${x^4} - 2a{x^2} + {a^2} - 6{x^2} +
4x + 2a = 0$
hay ${x^4} - \left( {2a + 6} \right){x^2} + 4x + {a^2} + 2a =
0$ (2)
Phương trình (2) là phương trình bậc bốn đối với x mà bạn không đuợc học cách
giải.
Nhưng ta lại có thể viết phương trình (1) dưới dạng
${a^2} - 2\left( {{x^2} - 1} \right)a +
{x^4} - 6{x^2} + 4x = 0$ (3)
Và xem (3) là phương trình bậc hai đối với a.
Với cách nhìn này, ta tìm được a theo x:
${a_{1,2}} = {x^2} - 1 \pm \sqrt {{x^4} - 2{x^2} + 1 -
x{}^4 + 6{x^2} - 4x} $
$\begin{array}
= {x^2} - 1 \pm \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} \\
= {x^2} - 1 \pm \left( {2x - 1} \right) \\
\end{array} $
Giải các phương trình bậc hai đối với x
${x^2} + 2x - a - 2 = 0$
(4)
Và ${x^2} - 2x - a = 0$
(5)
Ta tìm đuợc các nghiệm (1) theo a.
Điều kiện để (4) có nghiệm là $3 + a \geqslant 0$ và các nghiệm của (4)
là
${x_{1,2}} = - 1 \pm \sqrt {3 + a} $
Điều kiện để (5) có nghiệm là $1 + a \geqslant 0$ và các nghiệm của (5)
là
${x_{3,4}} = 1 \pm \sqrt {1 + a} $
Ví dụ 2.
Giải phương trình ${x^4} - {x^3} - 5{x^2} + 4x + 4 = 0$
(1)
Giải:
Phương trình (1) đuợc viết dưới dạng:
$\begin{array}
{x^4} - {x^3} - {x^2} - \left( {4{x^2} - 4x - 4} \right) = 0 \\
{x^2}\left( {{x^2} - x - 1} \right) - 4\left( {{x^2} - x - 1} \right) =
0 \\
\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - x - 1} \right) = 0 \\
\end{array} $
Vậy (1) có 4 nghiệm là
${x_1} = - 2;{x_2} = 2;{x_3} = \frac{{1 - \sqrt 5
}}{2};{x_4} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.$
Ví dụ 3.
Giải phương trình
$32{x^4} - 48{x^3} - 10{x^2} + 21x + 5 =
0$ (1)
Giải:
Ta viết (1) dưới dạng:
$2\left( {16{x^4} - 24{x^3} + 9{x^2}} \right) -
7\left( {4{x^2} - 3x} \right) + 5 = 0$
Và đặt: $y = 4{x^2} - 3x$ thì (1) được biến đổi thành
$2{y^2} - 7y + 5 = 0$
Từ đó ${y_1} = 1$ và ${y_2} = \frac{5}{2}$
Giải tiếp các phương trình bậc hai đối với x sau đây (sau khi thay${y_1} = 1$
và ${y_2} = \frac{5}{2}$ vào $y = 4{x^2} - 3x$ ):
$4{x^2} - 3x - 1 = 0$
Và $8{x^2} - 6x - 5 = 0$
Ta sẽ đuợc các nghiệm của (1).
Ví dụ 4.
Giải phương trình
$2{x^4} + 3{x^3} - 16{x^2} + 3x + 2 = 0$
(1)
Giải:
Đây là phương trình bậc bốn (và là phương trình hồi quy khi $\frac{e}{a}
= {\left( {\frac{d}{b}} \right)^2}$)
Với phương trình này ta giải như sau:
Chia hai vế của phương trình cho ${x^2}$ (khác không) thì (1) tương đuơng
với
$2{x^2} + 3x - 16 + \frac{3}{x} +
\frac{2}{{{x^2}}} = 0$
Hay $2\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 3\left( {x + \frac{1}{x}}
\right) - 16 = 0$
Đặt $y = x + \frac{1}{x}$ thì${y^2} - 2 = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$
Phương trình (1) đuợc biến đổi thành:
$2\left( {{y^2} - 2} \right) + 3y -
16 = 0$
hay $2{y^2} + 3y - 20 = 0$
Phương trình này có nghiệm là ${y_1} = - 4,{y_2} = \frac{5}{2}$
Vì vậy $x + \frac{1}{x} = - 4$ và $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ tức là
${x^2} + 4x + 1 = 0$ và $2{x^2} - 5x + 2 = 0$
Từ đó ta tìm đuợc các nghiệm của (1) là:
${x_{1,2}} = - 2 \pm \sqrt 3 ,{x_3} = \frac{1}{2},{x_4} = 2$.
Như vậy, với các ví dụ 2,3 và 4 ta giải đuợc phương trình bậc bốn nhờ biết biến
đổi sáng tạo vế trái của phương trình để dẫn tới việc giải các phương trình và
phương trình quen thuộc.
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương
pháp hệ số bất định.
Ví dụ 5.
Giải phương trình: ${x^4} + 4{x^3} - 10{x^2} + 37x - 14 = 0$
(1)
Giải:
Ta thử phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai ${x^2} + px + q$ và ${x^2} +
rx + s$ , trong đó $p,q,r,s$ là các hệ số nguyên chưa xác định.
Ta có:
${x^4} + 4{x^3} - 10{x^2} + 37x - 14 = \left( {{x^2} + px + q} \right)\left(
{{x^2} + rx + s} \right)$ (2)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc hai vế của đồng nhất thức
ta có hệ phương trình sau
$\left\{ \begin{array}
p + r = - 4 \\
s + q + pr = - 10 \\
ps + qr = 37 \\
qs = - 14 \\
\end{array} \right.$
Nhờ phương trình cuối cùng của hệ này ta đoán nhận các giá trị nguyên tương ứng
có thể lấy đuợc của q và s.
Thử lần lượt các giá trị của q thì thấy với $q = 2,s = - 7$ phương trình
thứ hai và thứ ba của hệ trên cho ta hệ phương trình mới
$\left\{
\begin{array}
pr = - 5 \\
- 7p + 2r = 37 \\
\end{array} \right.$
Mà khử $p$đi thì đuợc $2{r^2} - 37r + 35 = 0$
Phương trình này cho nghiệm nguyên của $r$ là 1. Nhờ thế ta suy ra $p = -
5$
Thay các giá trị $p,q,r,s$ vừa tìm được vào (2) thì có:
${x^4} + 4{x^3} - 10{x^2} + 37x - 14 =
\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)\left( {{x^2} + x - 7} \right)$
Phương trình (1) ứng với $\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)\left( {{x^2} + x - 7}
\right) = 0$
Giải phương trình tích này ta đuợc các nghiệm sau của (1):
$x = \frac{{5 \pm \sqrt {17} }}{2};x = \frac{{ - 1 \pm
\sqrt {29} }}{2}$
Lưu ý:
Trong một số truờng hợp ta
không thể dùng phương pháp này vì nhiều khi việc phân tích trên không được như
mong muốn chẳng hạn khi hệ trên không có nghiệm nguyên.
3. Công thức nghiệm tổng quát của phương
trình bậc 4
Dụng ý của ta là phân tích đa thức ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ thành hai
nhân tử bậc hai
Dùng ẩn phụ h, ta biến đổi như sau:
$f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}ax +
\frac{1}{2}h} \right)^2} + b{x^2} + cx + d - \frac{1}{4}{a^2}{x^2} -
\frac{1}{4}{h^2} - h{x^2} - \frac{1}{2}ahx$
$f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}ax +
\frac{1}{2}h} \right)^2} - \left[ {\left( {h + \frac{1}{4}{a^2} - b}
\right){x^2} + \left( {\frac{1}{2}ah - c} \right)x + \left( {\frac{1}{4}{h^2} -
d} \right)} \right]$ (2)
Tam thức trong dấu móc vuông có dạng: $A{x^2} + Bx + C$
$A{x^2} + Bx + C$có thể viết dưới dạng: $A{x^2} + Bx + C = {\left( {Px +
q} \right)^2}$ (3)
Khi và chỉ khi ${B^2} - 4AC = 0$ hay $4AC - {B^2} = 0$
Ta có: $4\left( {h + \frac{1}{4}{a^2} - b} \right)\left( {\frac{1}{4}{h^2} - d}
\right) - {\left( {\frac{1}{2}ah - c} \right)^2} = 0$
Đây là phương trình bậc ba đối với $h$ nến phải có ít nhất một nghiệm thực.
Giả sử nghiệm đó là $h = 1$.
(Ta có thể dùng công thức biểu diễn nghiệm phương trình bậc ba của Cacđanô (nhà
toán học người Italia) ${x^3} + p{x^2} + q = 0$ (*) qua các hệ số của nó. Mọi
phương trình bậc ba tổng quát: ${a_0}{y^3} + {a_1}{y^2} + {a_2}y + {a_3} =
0,{a_0} \ne 0$đều có thể đưa về dạng (*) nhờ phép biến đổi ẩn số $y = x -
\frac{{{a_1}}}{{3{a_0}}}$.
Công thức được viết như sau: $x = \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt
{\frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} -
\sqrt {\frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}}} }}$ trong đó mỗi căn thức bậc
ba ở vế sau có ba giá trị, nhưng phải chọn các cặp giá trị có tích bằng $ -
\frac{p}{3}$để cộng với nhau)
Thế thì (2) đuợc viết dưới dạng: $f\left( x \right) = {\left( {{x^2} +
\frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}t} \right)^2} - {\left( {px + q}
\right)^2}$ (4)
Vậy:
$f\left( x \right) = \left( {{x^2} + \frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}t + px + q}
\right)\left( {{x^2} + \frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}t - px + q} \right) = 0$
Từ đó: ${x^2} + \left( {\frac{1}{2}a + p} \right)x + \frac{1}{2}t + q = 0$
hoặc ${x^2} + \left( {\frac{1}{2}a - p} \right)x + \frac{1}{2}t - q = 0$
Giải hai phương trình bậc hai này ta đuợc tập hợp nghiệm của (1):
${x_{1,2}} = - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}a + p} \right) \pm \sqrt
{{{\left( {\frac{1}{2}a + p} \right)}^2} - 4q - 2t} $
Và ${x_{3,4}} = - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}a - p} \right) \pm \sqrt
{{{\left( {\frac{1}{2}a - p} \right)}^2} + 4q - 2t} $
Ví dụ 6.
Giải phương trình: ${x^4} - {x^3} - 7{x^2} + x + 6 = 0$
Giải:
Dựa vào công thức (3) ta xác định đuợc $h$:
$4\left( {h + \frac{{29}}{4}} \right)\left(
{\frac{1}{4}{h^2} - 6} \right) - {\left( { - \frac{1}{2}h - 1} \right)^2} = 0$
tức ${h^3} + 7{h^2} - 25h - 175 = 0$
Ta tìm đuợc một nghiệm thực $h$ của phương trình này là $h = 5$
Dựa vào (3) và với $h = t = 5,a = - 1,,b = - 7,c = 1,d = 6$ thì
tính đuợc $p = \frac{7}{2},q = \frac{{ - 1}}{2}$
Phương trình đã cho sẽ đuợc diễn đạt theo (4) là:
$\begin{array}
{\left( {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}} \right)^2} - {\left(
{\frac{7}{2}x - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0 \\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} +
\frac{7}{2}x - \frac{1}{2}} \right)\left( {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} -
\frac{7}{2}x + \frac{1}{2}} \right) = 0 \\
\end{array} $
Thì đựơc tập nghiệm của phương trình đã cho là: $\left\{ { - 1; - 2;3;1}
\right\}$
4. Phương pháp đồ thị.
Phương pháp:
Để giải phương trình bậc bốn
${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ (1)
bằng đồ thị, ta hãy đặt ${x^2} = y - mx$
Phương trình (1) trở thành: ${y^2} - 2mxy + {m^2}{x^2} + axy - ax{m^2} + b{x^2}
+ cx + d = 0$
Để khử đuợc các số hạng có $xy$ trong phương trình này thì phải có:
$ - 2m + a = 0$ và $m = \frac{a}{2}$
Vậy nếu đặt
${x^2} = y - mx$ và $m = \frac{a}{2}$ tức ${x^2} = y - \frac{a}{2}x$
Thì (1) trở thành: ${y^2} + \frac{{{a^2}}}{4}{x^2} - \frac{{{a^2}}}{2}{x^2} +
b{x^2} + cx + d = 0$ (2)
Thay ${x^2}$ bởi $y - \frac{a}{2}x$ và biến đổi thì (2) trở
thành
${x^2} + {y^2} + \left( {\frac{a}{2} + \frac{{{a^3}}}{8} - \frac{{ab}}{2} + c}
\right)x + \left( {b - \frac{{{a^2}}}{4} - 1} \right)y + d = 0$
Vậy phương trình (1) tương đuơng với hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}
y = {x^4} + \frac{a}{2}x,(3) \\
{x^2} + {y^2} + \left( {\frac{a}{2} + \frac{{{a^3}}}{8} - \frac{{ab}}{2}
+ c} \right)x + \left( {b - \frac{{{a^2}}}{4} - 1} \right)y + d = 0,(4)
\\
\end{array}
\right.$
Do đó hoành độ các giao điểm của parabol, đồ thị (3) và của đuờng tròn, đồ thị
của (4), là nghiệm của phương trình (1) đã cho
Nếu ta đặt $my = {x^2} + \frac{a}{2}x(m \ne 0)$ thì khi ấy nghiệm của phương
trình (1) lại là hoành độ các giao điểm của hai parabol
$y = \frac{1}{m}{x^2} + \frac{a}{{2m}}x$
Và $x = \frac{{{m^2}{y^2}}}{{\frac{{ab}}{2} - \frac{{{a^3}}}{8} - c}} +
\frac{{m\left( {b - \frac{{{a^2}}}{4}} \right)y}}{{\frac{{ab}}{2} -
\frac{{{a^3}}}{3} - c}} + d$
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bây giờ, ta hãy vận dụng các phương pháp trên để giải các phương trình bậc bốn
sau:
$\begin{array}
1){x^4} + 4{x^3} + 3{x^2} + 2x - 1 = 0, \\
2){x^4} + 2{x^3} + 5{x^2} + 4x - 12 = 0, \\
3)6{x^4} + 5{x^3} - 38{x^2} + 5x + 6 = 0, \\
4){x^4} + 5{x^3} - 12{x^2} + 5x + 1 = 0, \\
5){x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} + 6x - 15 = 0. \\
\end{array} $