TỔ HỢP – XÁC SUẤT
I. Tổ hợp.
1. Hoán vị:
$P_n=n!=1.2.3…n$ (với $n \in N^*$)
2. Chỉnh hợp:
$A^{k}_{n}=\frac{n!}{(n-k)!}$ $(1 \leq k \leq n) $
Tính chất: $P_n=A^{n}_{n} $
3. Tổ hợp:
$C^{k}_{n}= \frac{n!}{k!(n-k)!}$
4. Tính chất:
$P_n=A^{n}_{n}; A^{k}_{n}=A^{k}_{n}.k! $
$C^{k}_{n}=C^{n-k}_{n} $
$C^{k-1}_{n-1}+ C^{k}_{n-1}=C^{k}_{n}(1 \leq k \leq n). $
5. Nhị thức Niu-tơn:
$(a+b)^n=C^{0}_{n}a^n+C^{1}_{n}a^{n-1}b^1+C^{2}_{n}a^{n-2}b^2+…+C^{n-1}_{n}a^1b^{n-1}+C^{n}_{n}a^0b^n. $
$=\sum_{k=0}^{n}C^{k}_{n}a^{n-k}b^k (n \in N^*)$
Số hạng tổng quát trong khai triển: $T_{k+1}= C^{k}_{n}a^{n-k}b^k (n \in N^*) $
II. Xác suất.
• Xác suất của biến cố $A$:
$P(A)= \frac{n(A)}{n(\Omega )}.(0 \leq P(A) \leq 1) $
Trong đó $n(A)$ là số phần tử của biến cố $A$. $n(\Omega )$ là số phần tử của không gian mẫu $\Omega $
• Tính chất xác suất:
$P(\varnothing )=0$
$P(\Omega )=1$
• Các quy tắc tính xác suất.
1. Quy tắc cộng xác suất.
Nếu hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc thì xác suất để $A$ hoặc $B$ xảy ra là:
$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$$
Mở rộng: Cho $k$ biến cố $A_1,A_2,…,A_k$ đôi một xung khắc. Khi đó:
$$P(A_1 \cup A_2 \cup … \cup A_k)=P(A_1)+P(A_2)+…+P(A_k).$$
$P(\overline{A})=1-P(A) $ (Với $\overline{A}$ là biến cố đối của biến cố $A$ )
2. Quy tắc nhân xác suất.
Nếu hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau thì:
$$ P(AB)=P(A)P(B)$$
Mở rộng: Nếu $k$ biến cố $A_1,A_2,…,A_k$ độc lập với nhau thì:
$$P(A_1A_2…A_k)=P(A_1)P(A_2)…P(A_k)$$
• Kì vọng:
Cho $X$ là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là ${x_1,x_2,…,x_n}.$
Kì vọng của $X$, kí hiệu là $E(X)$, là một số thực được tính theo công
thức:
$$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+…+x_np_n= \sum_{i=1}^{n}x_ip_i, $$
ở đó $p_i=P(X=x_i), (i=1,2,…,n)$
• Phương sai:
Cho $X$ là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị ${x_1,x_2,…,x_n}.$
Phương sai của $X$, kí hiệu là $V(X)$ là một số được tính theo công thức:
$V(X)=(x_1-\mu )^2p_1+(x_2-\mu )^2p_2+…+(x_n-\mu )^2p_n$
$=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu )^2p_i, $
ở đó $p_i=P(X=x_i)(i=1,2,…,n)$ và $\mu =E(X)$
• Độ lệch chuẩn:
Căn bậc hai của phương sai, kí hiệu $\sigma (X)$, được gọi là độ lệch chuẩn của $X$, nghĩa là:
$\sigma (X)= \sqrt{V(X)} $
TỔ HỢP - XÁC XUẤT
TỔ HỢP – XÁC SUẤT
I. Tổ hợp.
1. Hoán vị:
$P_n=n!=1.2.3…n$ (với $n \in N^*$)
2. Chỉnh hợp:
$A^{k}_{n}=\frac{n!}{(n-k)!}$ $(1 \leq k \leq n) $
Tính chất: $P_n=A^{n}_{n} $
3. Tổ hợp:
$C^{k}_{n}= \frac{n!}{k!(n-k)!}$
4. Tính...
|
|
|