Sổ tay cá nhân

Tạo bởi: mit-to-dangs
Danh sách câu hỏi trong sổ
0
phiếu
0đáp án
17K lượt xem

Phương pháp chung :

  Để chứng minh bất đẳng thức f(x)>g(x) ta thực hiện :
+ Xét hàm số h(x)=f(x)g(x).
+ Tìm miền xác định của h(x).
+ Tính đạo hàm cấp một, giải phương trình h(x)=0. Tìm nghiệm.
+ Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

  Các trường hợp :
+ Chứng minh f(x)A nghĩa là chứng minh minf(x)A, ở đây A là hằng số.
+ Chứng minh f(x)A nghĩa là chứng minh maxf(x)A, ở đây A là hằng số.
+ Nếu phương trình h(x)=0 không giải được thì ta tính đạo hàm cấp hai, ba đến khi nào xét dấu được thì ta dừng.

Ví dụ 1. Chứng minh bất đẳng thức :
                            1x+1+x+x242x[1,1]
Lời giải :
Xét hàm số f(x)=1x+1+x+x24 trên [1,1].
Ta có :
     f(x)=121x+121+x+x2=x1x2+1x1+x21x2
     f(x)=0x1x2=1+x1x=0x2(1x2)=221x2(1)
Đặt t=1x2(t0)x2=1t2
PT (1)(1t2)t=2(1t)(1t)(t2+t2)=0t=1x=0
Bảng biến thiên :
x101f(x)+002f(x)2+142+14

Từ bảng biến thiên ta suy ra   f(x)2x[1,1].
Từ đó có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức :
                            arctanxπ4ln(1+x2)ln2x[12,1]
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
arctanxln(1+x2)π4ln2
Xét hàm số :  f(x)=arctanxln(1+x2)  với   x[12,1]
Ta có :
               f(x)=11+x22x1+x2=12x1+x2
               f(x)=012x=0x=12
Bảng biến thiên :
x121f(x)0f(x)π4ln2

Từ bảng biến thiên ta suy ra   f(x)π4ln2x[12,1].
Từ đó có điều phải chứng minh.

   Tuy nhiên, việc áp dụng đạo hàm để chứng minh một bất đẳng thức mà hàm f(x) đã có sẵn trong bất đẳng thức thì chưa quá khó khăn. Vấn đề đặt ra ở đây là phải biết ứng dụng đạo hàm để chứng minh những bất đẳng thức mà ta tự tìm ra hàm số.
   Việc tìm ra một hàm số để xét là phải dựa vào đặc tính của từng bất đẳng thức. Để cụ thể ta xét các ví dụ sau :

Ví dụ 3. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2=1
Chứng minh rằng : ab2+c2+ba2+c2+cb2+a2332
Lời giải :
Từ giả thiết a2+b2+c2=1{b2+c2=1a2a2+c2=1b2a2+b2=1c20<a,b,c<1
Như vậy BĐT cần chứng minh tương đương với
       a1a2+b1b2+c1c2332(a2+b2+c2)
Xét hàm số : f(x)=x1x2332x2,0<x<1
Ta sẽ chứng minh f(x)0. Thật vậy,
f(x)0x1x2332x21x(1x2)332x(1x2)233
Đặt g(x)=xx3  với x(0,1)
       g(x)=13x2;g(x)=0x=13
Bảng biến thiên :
x0131g(x)+0233g(x)00

Từ bảng biến thiên ta suy ra   g(x)233f(x)0x1x2332x2.
Lần lượt thay x bởi a,b,c ta được :
{a1a2332a2b1b2332b2c1c2332c2a1a2+b1b2+c1c2332(a2+b2+c2)
Từ đây có điều phải chứng minh.

Ví dụ 4. Cho ABC nhọn. Chứng minh rằng :
                     sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2π
Lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
                     sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2(A+B+C)                 
 Xét hàm số : f(x)=sinx+tanx2x  với  0<x<π2
Ta sẽ chứng minh f(x)>0. Thật vậy,
         f(x)=cosx+1cos2x2
 Vì 0<x<π20<cosx<1cosx>cos2x
 f(x)>cos2x+1cos2x2BĐT Cô-si2cos2x.1cos2x2=0x(0,π2)
 f(x)>0x(0,π2)f(x) đồng biến trên (0,π2)
 f(x)>f(0)=0sinx+tanx>2x
Lần lượt thay x bởi a,b,c ta được :
{sinA+tanA>2AsinB+tanB>2BsinC+tanC>2CsinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2(A+B+C)
Từ đây có điều phải chứng minh.

Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi xR thì :
                                   sinx+sin2x+sin3x<332
Lời giải :
Theo BĐT Bunhiacopsky ta có :
     sinx+sin2x+sin3x=2sin2xcosx+2cosxsinx2sin22x+cos2x
sinx+sin2x+sin3x21cos22x+1+cos2x2=2cos22x+12cos2x+32
Đặt t=cos2x với 1t1
Xét hàm : f(t)=t2+12t+32
                  f(t)=2t+12;f(t)=0t=14
Bảng biến thiên :
t1141f(t)+02516f(t)00

Từ bảng biến thiên ta suy ra   f(t)max[1,1]f(t)=2516.
sinx+sin2x+sin3x2f(t)=52<332
Vậy : sinx+sin2x+sin3x<332 (đpcm).

Ví dụ 6. Chứng minh rằng với mọi xR ta luôn có :
                                                       2|sinx|+2|cosx|3(1)
Lời giải :
Đặt t=|sinx|, điều kiện : 0t1|cosx|=1t2
BĐT (1) trở thành :   2t+21t23
Xét hàm số : f(t)=2t+21t2  với 0t1
                        f(t)=2tln2t1t221t2ln2=t.ln2(2tt21t21t2)
Lại xét hàm : g(u)=2uu với 0u1
                        g(u)=u.2uln22uu2=2uu2(uln21)<00u1
g(u) là hàm giảm trên [0;1]
f(t)=0g(t)=g(1t2)t=1t2t=12
Bảng biến thiên :
t0121f(t)+0fmaxf(t)33

Từ bảng biến thiên ta suy ra   f(t)3t[0,1].
Từ đó có điều phải chứng minh.

Ví dụ 7. (Đại học Khối A2012) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=0. Chứng minh rằng :
                         3|xy|+3|yz|+3|zx|6x2+6y2+6x23
Lời giải :
Trước hết ta sẽ chứng minh :  3tt+1t0()
Xét hàm f(t)=3tt1  trên [0,+)
                f(t)=3tln31>0t0
f(t) là hàm tăng trên [0,+)
 f(t)f(0)=0() được chứng minh.
 Áp dụng (), ta có : 3|xy|+3|yz|+3|zx|3+|xy|+|yz|+|zx|
 Sử dụng BĐT quen thuộc  |a|+|b||a+b|, ta có :
(|xy|+|yz|+|zx|)2=|xy|2+|yz|2+|zx|2+|xy|(|yz|+|zx|)+|yz|(|zx|+|xy|)+|zx|(|xy|+|yz|)2(|xy|2+|yz|2+|zx|2)
Do đó :
|xy|+|yz|+|zx|2(|xy|2+|yz|2+|zx|2)=6x2+6y2+6x22(x+y+z)2
x+y+z=0, suy ra |xy|+|yz|+|zx|6x2+6y2+6x2
 Suy ra  3|xy|+3|yz|+3|zx|6x2+6y2+6x23  (đpcm).

 BÀI TẬP ÁP DỤNG

 Bài 1.
Chứng minh rằng : x>0 thì xx36<sinx

 Bài 2. Chứng minh rằng : x>1 thì x1>lnx>11x

 Bài 3. Cho 0<a<b<π. Chứng minh rằng :  asinabsinb>2(cosbcosa)

 Bài 4. Cho 0xπ2. Chứng minh rằng : xcosx<π216

Bài 5. Cho hai số dương thỏa mãn x2+y22. Chứng minh rằng : x3+y32

 Bài 6. (Đại học khối B2012) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn các điều kiện x+y+z=0x2+y2+z2=1.
 Chứng minh rằng :  x5+y5+z55636

 Bài 7. (Đại học khối D2012) Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện (x4)2+(y4)2+2xy32.
 Chứng minh rằng :  x3+y3+3(xy1)(x+y2)17554.
ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp chung : Để chứng minh bất đẳng thức f(x)>g(x) ta thực hiện :+ Xét hàm số h(x)=f(x)g(x).+ Tìm miền xác định của h(x).+ Tính đạo hàm cấp một, giải phương trình h(x)=0. Tìm nghiệm.+ Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra...