lý btt

Khái niệm:
Hệ phương trình không mẫu mực là hệ phương trình không có cấu trúc (dạng) cụ thể, do đó cũng không có cách giải tổng quát. Phải tùy vào từng hệ phương trình mà có cách giải phù hợp.

Một số cách giải cơ bản:
1.    Phương pháp thế,
1.    Phương pháp đặt ẩn số phụ,
2.    Phương pháp cộng,
3.    Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số,
4.    Phương pháp dùng bất đẳng thức,
5.    Phương pháp đánh giá,
6.    Phương pháp đưa về hệ phương trình cùng bậc (đẳng cấp).
Sau đây là một số ví dụ cụ thể cho các phương pháp:

1. Phương pháp thế:
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  6{x^2} - 3xy + x + y = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)  \\
  {x^2} + {y^2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)  \\
\end{array}  \right.$
Giải
Ta biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo ẩn x:
$6{x^2} + \left( {1 - 3y} \right)x + y - 1 = 0$
Ta tính biệt số delta của phương trình trên:
$\Delta  = {\left( {1 - 3y} \right)^2} - 24\left( {y - 1} \right) = {\left( {3y - 5} \right)^2}$
Ta tìm dược nghiệm là $x = \frac{{y - 1}}{2}\,\,\,\, \vee \,\,\,x = \frac{1}{3}$
Thế $x = \frac{1}{3}$      vào (2) $ \Rightarrow y =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$
Thế $x = \frac{{y - 1}}{2}$ vào (2) $ \Rightarrow \left[ \begin{array}
y =  - \frac{3}{4}\,\,\, \Rightarrow x =  - \frac{4}{5}  \\
y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow x = 0  \\
\end{array}  \right.$
Vậy nghiệm của hệ là: $\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right),\,\,\left( { - \frac{3}{4}; - \frac{4}{5}} \right),\,\,\left( {\frac{1}{3};\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right),\,\,\left( {\frac{1}{3}; - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)$

Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  {x^2}\left( {y + 1} \right)\left( {x + y + 1} \right) = 3{x^2} - 4x + 1\,\,\,\,\left( 1 \right)  \\
  xy + x + 1 = {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)  \\
\end{array}  \right.\,\,$
Giải
Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn phương trình (2).
Với x ≠ 0, từ (2) ta có $y + 1 = \frac{{{x^2} - 1}}{x}$. Thay vào (1) ta được:
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\,{x^2}\frac{{{x^2} - 1}}{x}\left( {x + \frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right) = 3{x^2} - 4x + 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2{x^2} - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right)  \\
   \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} + 2{x^2} - x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right)  \\
   \Leftrightarrow 2x\left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\, \vee \,\,x =  - 2\,\,\left( {{\text{do}}\,x \ne 0} \right)  \\
\end{array} $
–Với $x = 1 \Rightarrow y =  - 1$,     –Với $x =  - 2 \Rightarrow y = \frac{5}{2}$
Vậy hệ có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( { - 2;\frac{5}{2}} \right)$

Ví dụ 3:
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}
  2{x^2} + x + {y^2} = 7\,\,\,\,\left( 1 \right)  \\
  xy - x + y = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)  \\
\end{array}  \right.\,\,\,$
Giải
Từ $\left( 2 \right) \Rightarrow y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\,\,\left( {x \ne  - 1} \right)$, thay vào (1) ta được:
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2{x^4} + 5{x^3} - 2{x^2} - 7x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} + 3x - 1} \right) = 0  \\
   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = 1  \\
  x =  - 2  \\
  x = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4}  \\
  x = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4}  \\
\end{array}  \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  x = 1  \\
  y = 2  \\
\end{array}  \right. \vee \left\{ \begin{array}
  x =  - 2  \\
  y =  - 1  \\
\end{array}  \right. \vee \left\{ \begin{array}
  x = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4}  \\
  y = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}  \\
\end{array}  \right. \vee \left\{ \begin{array}
  x = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4}  \\
  y = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{2}  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
$S = \left\{ {\left( {1;2} \right),\left( { - 2; - 1} \right),\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4};\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right),\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4};\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right)} \right\}$

Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình sau:
$\begin{array}
  \left. a \right)\left\{ \begin{array}
  xy - 3x - x - 2y = 16  \\
  {x^2} + {y^2} - 2x - 3y = 33  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,b} \right)\left\{ \begin{array}
  {x^2} - xy + {y^2} = 3  \\
  2{x^3} - 9{y^3} = \left( {x - y} \right)\left( {2xy + 3} \right)  \\
\end{array}  \right.  \\
  \left. c \right)\left\{ \begin{array}
  xy + 3{y^2} - x + 4y = 7  \\
  2xy + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\left. {\,\,d} \right)\left\{ \begin{array}
  4{x^2} - 9{y^2} = 0  \\
  {x^2} + {y^2} = 4x + 3y  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $

2. Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  {x^2} + 1 + y\left( {x + y} \right) = 4y\,\,\,\,  \\
  \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + y - 2} \right) = y\,\,\,\,\,\,\,\,  \\
\end{array}  \right.\,\left( {\text{I}} \right)$
Giải
Dễ thấy y = 0 không thỏa hệ (I), nên ta có:
$\left( {\text{I}} \right)\left\{ \begin{array}
  \frac{{{x^2} + 1}}{y} + x + y = 4\,\,\,  \\
  \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{y}} \right)\left( {x + y - 2} \right) = 1\,\,\,\,\,\,\,\,  \\
\end{array}  \right.$
Đặt $u = \frac{{{x^2} + 1}}{y},\,\,\,v = x + y - 2$, ta có:  $\left\{ \begin{array}
  u + v = 2  \\
  uv = 1\,\,\,\,  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  u = 1  \\
  v = 1  \\
\end{array}  \right.$
Khi đó, suy ra: $\left\{ \begin{array}
  \frac{{{x^2} + 1}}{y} = 1  \\
  x + y - 2 = 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  y = {x^2} + 1  \\
  y + x = 3  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = 1\,\,\,\,\,\, \Rightarrow y = 2  \\
  x =  - 2\,\, \Rightarrow y = 5  \\
\end{array}  \right.$
Vậy nghiệm của hệ là: $\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right),\left( { - 2;5} \right)$.

Ví dụ 5:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  4xy + 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{3}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = 7  \\
  2x + \frac{1}{{x + y}} = 3  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\left( {{\text{II}}} \right)\,\,\,\,$
Giải
Điều kiện: x + y ≠ 0. Khi đó:
$\left( {{\text{II}}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  3{\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x - y} \right)^2} + \frac{3}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = 7  \\
  x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 3  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,$
Đặt  $u = x + y + \frac{1}{{x + y}}$ (điều kiện: $\left| u \right| \geqslant 2$),$\,\,\,\,v = x - y$
$\left( {{\text{II}}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  3{u^2} + {v^2} = 13  \\
  u + v = 3  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  v = 3 - u  \\
  3{u^2} + {\left( {3 - u} \right)^2} = 13  \\
\end{array}  \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}
  u = 2 \Rightarrow v = 1  \\
  u =  - \frac{1}{2}\, \\
\end{array}  \right.$
Suy ra:       $\left\{ \begin{array}
  x + y + \frac{1}{{x + y}} = 2  \\
  x - y = 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = 1  \\
  y = 0  \\
\end{array}  \right.$
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right)$

Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình sau:
$\begin{array}
  a)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {2{x^2}{y^2} + {x^2} + 2x = 2} \\
  {2{x^2}y - {x^2}{y^2} + 2xy = 1}
\end{array}\;{\text{                   b)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x + y + xy = 5} \\
  {{{(x + 1)}^3} + {{(y + 1)}^3} = 35}
\end{array}} \right.} \right.  \\
  c)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^2} + {y^2} + x + y = 4} \\
  {x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2}
\end{array}{\text{              d)}}} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt {2x + y + 1}  - \sqrt {x + y}  = 1} \\
  {3x + 2y = 4}
\end{array}} \right.  \\
\end{array} $

3. Phương pháp cộng:
Ví dụ 6:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  \sqrt {x + 1}  + \sqrt {y - 1}  = 4  \\
  \sqrt {x + 6}  + \sqrt {y + 4}  = 6  \\
\end{array}  \right.$
Giải
Điều kiện: $x \geqslant  - 1,\,\,\,y \geqslant 1$
Cộng và trừ vế theo vế của hai phương trình, ta có:
$\left\{ \begin{array}
  \sqrt {x + 6}  + \sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 4}  + \sqrt {y - 1}  = 4  \\
  \sqrt {x + 6}  - \sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 4}  - \sqrt {y - 1}  = 6  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Đặt     $u = \sqrt {x + 6}  + \sqrt {x + 1}  \Rightarrow \sqrt {x + 6}  - \sqrt {x + 1}  = \frac{5}{u}$
$v = \sqrt {y + 4}  + \sqrt {y - 1}  \Rightarrow \sqrt {y + 4}  - \sqrt {y - 1}  = \frac{5}{v}$
Khi đó hệ (*) trở thành
$\left\{ \begin{array}
  u + v = 10  \\
  \frac{5}{u} + \frac{5}{v} = 2  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  u = 5  \\
  v = 5  \\
\end{array}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  \sqrt {x + 6}  + \sqrt {x + 1}  = 5  \\
  \sqrt {y + 4}  + \sqrt {y - 1}  = 5  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = 3  \\
  y = 4  \\
\end{array}  \right.$
Vậy nghiệm của hệ là $\left( {x;y} \right) = \left( {3;4} \right)$


Ví dụ 7:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  \sqrt {{x^2} + 91}  = \sqrt {y - 2}  + {y^2}\,\,\,\,\left( 1 \right)  \\
  \sqrt {{y^2} + 91}  = \sqrt {x + 2}  + {x^2}\,\,\,\,\left( 2 \right)  \\
\end{array}  \right.$
Giải
Điều kiện: $x,y > 2$
Lấy (1) trừ (2) ta được:
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} + 91}  - \sqrt {{y^2} + 91}  = \sqrt {y - 2}  - \sqrt {x + 2}  + {y^2} - {x^2}  \\
   \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + \sqrt {{y^2} + 91} }} = \frac{{y - x}}{{\sqrt {y - 2}  + \sqrt {x + 2} }} + {y^2} - {x^2}  \\
   \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\underbrace {\left( {\frac{{x + y}}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + \sqrt {{y^2} + 91} }} + \frac{1}{{\sqrt {y - 2}  + \sqrt {x + 2} }} + x + y} \right)}_{ > \,0\forall \,x,y\,\, > \,\,2} = 0  \\
   \Leftrightarrow \,x = y  \\
\end{array} $
Thế $x = y$ vào phương trình (1), ta có:
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} + 91}  = \sqrt {x - 2}  + {x^2} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 91}  - 10 = \sqrt {x - 2}  - 1 + {x^2} - 9  \\
   \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + 20}} = \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 2}  + 1}} + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)  \\
   \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\underbrace {\left[ {\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + 10}} - 1} \right) - \frac{1}{{\sqrt {x - 2}  + 1}}} \right]}_{ > \,0\forall \,x,y\,\, > \,\,2\,} = 0  \\
   \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow y = 3  \\
\end{array} $
Vậy hệ có mộ nghiệm duy nhất: $\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)$

Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình sau:
$\begin{array}
  a)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x + y + xy = 1{\text{              }}} \\
  {{x^2} + {y^2} + 3(x + y) = 28}
\end{array}\;{\text{               b)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt {x + \frac{1}{y}}  + \sqrt {x + y - 3}  = 3} \\
  {2x + y + \frac{1}{y} = 5}
\end{array}} \right.} \right.  \\
  b)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^2} + y + {x^3}y + x{y^2} + xy = \frac{{ - 5}}{4}} \\
  {{x^4} + {y^2} + xy(1 + 2x) = \frac{{ - 5}}{4}}
\end{array}} \right.{\text{        c)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {2 + 6y = \frac{x}{y} - \sqrt {x - 2y} } \\
  {\sqrt {x - \sqrt {x - 2y} }  = x + 3y - 2}
\end{array}} \right.  \\
\end{array} $

4.  Phương pháp dùng bất đẳng thức:
Ví dụ 8:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  \sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 1}  + \sqrt {z + 1}  = 6  \\
  x + y + z = 9  \\
\end{array}  \right.$
Giải
Điều kiện: $x,y,z \geqslant  - 1$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:
${\left( {1.\sqrt {x + 1}  + 1.\sqrt {y + 1}  + 1.\sqrt {z + 1} } \right)^2} \leqslant 3\left( {x + y + z} \right) = 36$
Suy ra: $\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 1}  + \sqrt {z + 1}  \leqslant 6$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow x = y = z = 3$ thỏa mản phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất $\left( {x;y;z} \right) = \left( {3;3;3} \right)$

Ví dụ 9:
Giải hệ phương trình sau:    $\left\{ \begin{array}
  \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} = y  \\
  \frac{{3{y^3}}}{{{y^4} + {y^2} + 1}} = z  \\
  \frac{{4{z^4}}}{{{z^6} + {z^4} + {z^2} + 1}} = x  \\
\end{array}  \right.$
Giải
Vì $\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} = y \geqslant 0$nên xảy ra hai trường hợp sau:
    Với y = 0, khi đó x = y = z = 0v
Vậy $\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;0} \right)$ là một nghiệm của hệ phương trình.
    Với yv > 0, khi đó x > 0, z > 0.
Dễ thấy ${x^2} + 1 \geqslant 2{x^2}$ nên $\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} \leqslant x\,\,{\text{hay}}\,\,y \leqslant x$.
Theo BĐT Cauchy, ta có:
${y^4} + {y^2} + 1 \geqslant 3\sqrt[3]{{{y^4}.{y^2}.1}} = 3{y^2} \Rightarrow \frac{{3{y^2}}}{{{y^4} + {y^2} + 1}} \leqslant y\,\,{\text{hay}}\,\,z \leqslant y$
Từ phương trình thứ 3 của hệ suy ra $x \leqslant z$. Vậy $x \leqslant y \leqslant z \leqslant x$, điều này xảy ra $ \Leftrightarrow x = y = z$.
Thay vào phương trình đầu ta được $x = y = z = 1$  (thoả)
Vậy nghiệm của hệ là $\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;0} \right)\left( {1;1;1} \right)$

Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình sau:
$\left. a \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {(x - 1)\sqrt y  + (y - 1)\sqrt x  = \sqrt {2xy} } \\
  {x\sqrt {y - 1}  + y\sqrt {x - 1}  = xy}
\end{array}} \right.{\text{ }}\left. \\b \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt {4x + 1}  + \sqrt {4y + 1}  + \sqrt {4z + 1}  = 9} \\
  {x + y + z = 6{\text{                              }}}
\end{array}} \right.$

PHƯƠNG PHÁP 7: DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG
1. Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương
Ví dụ 1:
Tìm các số nguyên $x$ để $9x + 5$ là tích của hai số nguyên liên tiếp
Giải:
Cách 1: Giải sử $9x + 5 = n(n + 1)$ với $n$ nguyên thì:
$36x + 20 = $$4{n^2} + 4n$
$ \Rightarrow 36x + 21 = 4{n^2} + 4n + 1$
$ \Rightarrow 3(12x + 7) = {(2n + 1)^2}$
Số chính phương ${(2n + 1)^2}$ chia hết cho 3 nên cũng chia hết cho 9. Ta lại có $12x + 7$ không chia hết cho 3 nên $3(12x + 7)$ không chi hết cho 9.
Mâu thuẫn trên chứng tỏ không tồn tại số nguyên $x$ nào để $9x + 5 = n(n + 1).$
Cách 2: Giả sử $9x + 5 = n(n + 1)$ với $n$ nguyên
Biến đổi ${n^2} + n - 9x - 5 = 0$
Để phương trình bậc hai đối với $n$ có nghiệm nguyên, điều kiện cần là $\vartriangle $ là số chính phương.
Nhưng $\Delta = 1 + 4(9x + 5) = 36x + 21$ chi hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương.
Vậy không tồn tại số nguyên $n$ nào để $9x + 5 = n(n + 1)$, tức là không tồn tại số nguyên $x$ để $9x + 5$ là tích của hai số nguyên liên tiếp.

2. Tạo ra bình phương đúng:
Ví dụ 2:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
                   $2{x^2} + 4x = 19 - 3{y^2}$
Giải :
$2{x^2} + 4x + 2 = 21 - 3{y^2}$
$ \Leftrightarrow 2{(x + 1)^2} = 3(7 - {y^2})$
Ta thấy $3(7 - {y^2}) \vdots 2 \Rightarrow 7 - {y^2} \vdots 2 \Rightarrow $y lẻ
Ta lại có $7 - {y^2}  \geqslant  0$ nên chỉ có thể ${y^2} = 1$
Khi đó (2) có dạng: $2{(x + 1)^2} = 18$
Ta được: $x + 1 = \pm 3$, do đó: ${x_1} = 2;{x_2} =  - 4$
Các cặp số $(2 ; 1), (2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1)$ thỏa mãn (2) nên là nghiệm của phương trình đã cho.

3. Xét các số chính phương liên tiếp:
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn tại số nguyên dương $x$ sao cho:
             $x(x + 1) = k(k + 2)$
Giải:
Giả sử $x(x + 1) = k(k + 2)$với k nguyên, $x$ nguyên dương.
Ta có:
      ${x^2} + x = {k^2} + 2k$
 $ \Rightarrow {x^2} + x + 1 = {k^2} + 2k + 1 = {(k + 1)^2}$
Do $x > 0$ nên ${x^2} < {x^2} + x + 1 = {(k + 1)^2}$                (1)
Cũng do $x > 0$ nên
${(k + 1)^2} = {x^2} + x + 1 < {x^2} + 2x + 1 = {(x + 1)^2}$         (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
${x^2} < {(k + 1)^2} < {(x + 1)^2}$ vô lý
Vậy không tồn tại số nguyên dương $x$ để $x(x + 1) = k(k + 2)$

Ví dụ 4:
Tìm các số nguyên $x$ để biểu thức sau là một số chính phương:
          ${x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3$
Giải:
Đặt ${x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3$= ${y^2}$  (1) với $y \in \mathbb{N}$
Ta thấy:
$\begin{array}
{y^2} = ({x^4} + 2{x^3} + {x^2}) + ({x^2} + x + 3)  \\
{y^2} = {({x^2} + x)^2} + ({x^2} + x + 3)  \\
\end{array} $
Ta sẽ chứng minh ${a^2} < {y^2} < {(a + 2)^2}$ với a = ${x^2} + x$
Thật vậy:
$\begin{array}
  {y^2} - {a^2} = {x^2} + x + 3 = {(x + \frac{1}{2})^2} + \frac{{11}}{4} > 0  \\
  {(a + 2)^2} - {y^2} = {({x^2} + x + 2)^2} - ({x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3)  \\
\end{array} $
$\begin{array}
= 3{x^2} + 3x + 1  \\
= 3{(x + \frac{1}{2})^2} + \frac{1}{4} > 0  \\
\end{array} $
Do ${a^2} < {y^2} < {(a + 2)^2}$ nên ${y^2} = {(a + 1)^2}$
$\begin{array}
\Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3 = {({x^2} + x + 1)^2}  \\
\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0  \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = 1  \\
  x =  - 2  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
Với $x = 1$ hoặc $x = -2$ biểu thức đã cho bằng $9 = {3^2}$

4. Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đếu là số chính phương
Ví dụ 5:
Giải phương trình với nghiệm nguyên dương:
                 $xy = {z^2}$             (1)
Giải:
Trước hết ta có thể giả sử $(x , y , z) = 1$. Thật vậy nếu bộ ba số ${x_o},{y_o},{z_o}$ thỏa mãn (1) và có ƯCLN bằng $d$, giả sử ${x_o} = d{x_1},{y_o} = d{y_1},{z_o} = d{z_1}$ thì ${x_1},{y_1},{z_1}$ cũng là nghiệm của (1).
Với $(x , y , z) = 1$ thì $x, y, z$ đôi một nguyên tố cùng nhau, vì nếu hai trong ba số $x, y, z$ có ước chung là $d$ thì số còn lại cũng chia hết cho $d$.
Ta có ${z^2} = xy$ mà (x, y) = 1 nên $x = {a^2},y = {b^2}$ với $a, b \in {\mathbb{N}^*}$
Suy ra: ${z^2} = xy = {(ab)^2}$ do đó, $z = ab$
Như vậy: $\left\{ \begin{array}
  x = t{a^2}  \\
  y = t{b^2}  \\
  z = tab  \\
\end{array}  \right.$ với $t$ là số nguyên dương tùy ý.
Đảo lại, hiển nhiên các số $x, y, z$ có dạng trên thỏa mãn (1)
Công thức trên cho ta các nghiệm nguyên dương của (1)

5. Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thí một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0
Ví dụ 6:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
                ${x^2} + xy + {y^2} = {x^2}{y^2}$                    (1)
Giải:
Thêm $xy$ vào hai vế:
      ${x^2} + 2xy + {y^2} = {x^2}{y^2} + xy$
$ \Leftrightarrow {(x + y)^2} = xy(xy + 1)$                           (2)
Ta thấy $xy$ và $xy + 1$ là hai số nguyên liên tiếp, có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0.
Xét $xy = 0$. Từ (1) có ${x^2} + {y^2} = 0$ nên x = y = 0
Xét $xy + 1 = 0$. Ta có $xy = -1$ nên $(x , y) = (1 ; -1)$ hoặc $(-1 ; 1)$
Thử lại, ba cặp số $(0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1)$ đều là nghiệm của phương trình đã cho.

PHƯƠNG PHÁP 8: TÌM NGHIỆM RIÊNG
1. Phương pháp:
Xét phương trình $ax + by + c = 0$          (1)
trong đó $a,b,c \in \mathbb{Z}$, $a \ne 0,b \ne 0$
Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng $(a, b, c) = 1$. Thật vậy, nếu $\left( {{\text{a}},{\text{ b}},{\text{ c}}} \right){\text{ }} = {\text{ }}d \ne 1$ thì ta chia hai vế của phương trình cho $d$.

Ta có hai định lý:
Định lý 1:

Nếu phương trình (1) có nghiệm nguyên thì $(a, b) = 1 (*)$
Chứng minh:

Giả sử $({x_o},{y_o})$ là nghiệm nguyên của (1) thì $a{x_o} + b{y_o} = c$
Nếu a và b có ước chung là $d \ne 1$ thì $c \vdots d$, trái với giả thiết $(a, b, c) = 1.$
Vậy $(a, b) = 1$

Định lý 2:

Nếu $({x_o},{y_o})$ là một nghiệm của phương trình (1) thì phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng:
                                 $\left\{ \begin{array}
  x = {x_o} + bt  \\
  y = {y_o} - at  \\
\end{array}  \right.$
trong đó $t$ là một số nguyên tùy ý $(t = 0, \pm 1, \pm 2,...)$.
Chứng minh:
Bước 1: Mọi cặp số $({x_o} + bt;{y_o} - at)$ đều là nghiệm nguyên của (1). Thật vậy $({x_o},{y_o})$ là nghiệm của (1) nên $a{x_o} + b{y_o} = c$
Ta có: $ax + by = a({x_o} + bt) + b({y_o} - at) = a{x_o} + b{y_o} = c$
Do đó $({x_o} + bt;{y_o} - at)$ là nghiệm của (1)
Bước 2: Mọi nghiệm $(x, y)$ của (1) đều có dạng $({x_o} + bt;{y_o} - at)$ với $t \in \mathbb{Z}$
Thật vậy, do $({x_o},{y_o})$ và $(x, y)$ là nghiệm của (1) nên
                               $\begin{array}
  ax + by = c  \\
a{x_o} + b{y_o} = c  \\
\end{array} $
Trừ từng vế:
$\begin{array}
  a(x - {x_o}) + b(y - {y_o}) = 0  \\
   \Rightarrow a(x - {x_o}) = b({y_o} - y)  \\
\end{array} $                           (2)
Ta có $a(x - {x_o})  \vdots b$ mà $(a, b) = 1$ (theo định lý 1) nên $x - {x_o}  \vdots b$
Vậy tồn tại số nguyên $t$ sao cho:    $x - {x_o}= bt$
Tức là: $x = {x_o} + bt$.
Thay vào (2):
$abt = b({y_o} - y)$
 $\begin{array}
   \Rightarrow at = {y_o} - y  \\
   \Rightarrow y = {y_o} - at  \\
\end{array} $
Vậy tồn tại số nguyên t sao cho:
        $\left\{ \begin{array}
  x = {x_o} + bt  \\
  y = {y_o} - at  \\
\end{array}  \right.$

2. Ví dụ:
Ví dụ 7:
Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình:
                  $3x – 2y = 5$
Giải:
Cách 1: Ta thấy ${x_o} = 3;{y_o} = 2$ là một nghiệm riêng.
Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phương trình là:
        $\left\{ \begin{array}
  x = 3 - 2t  \\
  y = 2 - 3t  \\
\end{array}  \right.$        ($t$ là số nguyên tùy ý)
Cách 2: Ta thấy ${x_o} = 1;{y_o} =  - 1$ là một nghiệm riêng
Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phương trình là:
        $\left\{ \begin{array}
  x = 1 - 2t  \\
  y =  - 1 - 3t  \\
\end{array}  \right.$        ($t$ là số nguyên tùy ý)
Chú ý: Qua hai cách giải trên, ta thấy có nhiều công thức biểu thị tập hợp các nghiệm nguyên của cùng một phương trình.

3. Cách tìm một nghiệm riêng của phương trình bậc nhất hai ẩn:
Để tìm một nghiệm nguyên riêng của phương trình $ax + by = c$, ta có thể dùng phương pháp thử chọn: lần lượt cho $x$ bằng số có giá giá trị tuyệt đối nhỏ $(0; \pm 1; \pm 2...)$ rồi tìm giá trị tương ứng của $y$.

PHƯƠNG PHÁP 9: HẠ BẬC
Ví dụ 8:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
           $x^3 + 2y^3 – 4z^3 = 0$         (1)
Giải:
(1) $ \Leftrightarrow x^3 = 4z^3 – 2y^3 $    (2)
Rõ ràng vế phải của (2) chia hết cho 2 nên $x^3 \vdots $ 2 do đó x $  \vdots $ 2. Đặt $x = 2x_1,  (x_1 \in \mathbb{Z}$).
Thay vào (2) ta có:
 (2) $ \Leftrightarrow $ 8x_1^3 = 4x^3 – 2y^3 $ \Leftrightarrow y^3 = 2z^3 – 4x_1^3 $     (3)
Lập luận tương tự ta có $y  \vdots $ 2, đặt $y = 2y_1,   (y_1 \in $$\mathbb{Z}$).
Biến đổi tương tự, ta được:
              $z^3 = 4y_1^3 + 2x_1^3$          (4)
Lập luận tương tự ta có $z  \vdots $ 2, đặt $z = 2z_1,   (z_1 \in \mathbb{Z}$).
Biến đổi tương tự, ta lại có:
 (4) $ \Leftrightarrow  8z_1^3 = 4y_1^3 + 2x_1^3  \Leftrightarrow x_1^3 + 2y_1^3 – 4z_1^3 = 0$             (5)
Rõ ràng nếu bộ số $(x_0; y_0; z_0)$ là nghiệm của (1) thì bộ số $(\frac{{{x_0}}}{2};\frac{{{y_0}}}{2};\frac{{{z_0}}}{2})$ cũng là nghiệm của (1), hơn nữa $x_0, y_0, z_0$ là số chẵn và $\frac{{{x_0}}}{2};\frac{{{y_0}}}{2};\frac{{{z_0}}}{2}$ cũng là số chẵn. Quá trình này có thể tiếp tục mãi và các số $\frac{{{x_0}}}{{{2^n}}};\frac{{{y_0}}}{{{2^n}}};\frac{{{z_0}}}{{{2^n}}}$ là số chẵn với mọi n là số nguyên dương.
Vậy $x = y = z = 0$

Bài tập rèn luyện:
Bài 1:   
Tìm $x, y$ nguyên thỏa mãn :
                 $x^2y^2 – x^2 – 8y^2 =2xy$
Hướng dẫn:
Viết lại phương trình đã cho dưới dạng:
          $y^2(x^2 – 7) = (x + y)^2.$           (1)
Phương trình đã cho có nghiệm $x = y = 0$. Xét $x, y \ne 0$. Từ (1) suy ra $x^2 – 7$ là một số chính phương. Đặt x^2 – 7 = a^2, ta có
         $(x – a)(x + a) = 7 $
Từ đó tìm được $x $
Đáp số: $(0, 0) ; (4, -1) ; (4, 2) ; (-4, 1) ; (-4, -2) $

Bài 2:   
Tìm các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn:
   a) $1! + 2! + ... + x! = {y^2}$
   b) $x! + y! = 10z + 9$
Hướng dẫn:
a)    Đây là bài toán liên quan đến chữ số tận cùng của một số chính phương.
Nếu $x \geqslant 4$ thì $1!+2!+…+x!$ tận cùng bởi 3 và không có số nguyên dương y nào thỏa mãn.
Đáp số : $x= y = 1$ hoặc $x = y = 3.$
b)    Nếu x, y > 1 thì x!+y! chia hết cho 2; loại
Nếu y = 1 thì $x! = 10z + 8 = 8$ (mod10), suy ra $x \leqslant 4.$
Đáp số : vô nghiệm.

Bài 3:   
Tìm tất cả nghiệm nguyên $(x; y)$ của phương trình :
                 $({x^2} + y)(x + {y^2}) = {(x - y)^3}$
Hướng dẫn:
Biến đổi phương trình về dạng
       $y[2{y^2} + ({x^2} - 3x)y + (x + 3{x^2})] = 0$       (1)
TH 1: $y = 0$
TH 2: y $ \ne 0$. Khi đó
    (1) $ \Leftrightarrow 2{y^2} + ({x^2} - 3x)y + (x + 3{x^2}) = 0$    (2)
Xem (2) là phương trình bậc 2 đối với biến $y$. Để (2) có nghiệm nguyên thì $\Delta  = {(x + 1)^2}x(x - 8)$ phải là một số chính phương, tức là
$x(x - 8) = {a^2}(a \in \mathbb{N}) \Rightarrow (x - 4 - a)(x - 4 + a) = 16$
Từ đó ta tìm được $x$
Đáp số : $(x; y) = (9; -6) , (9; -21) , (8; -10) , (-1; -1)$ và $(m; 0)$ với $m \in \mathbb{Z}$

Bài 4:   
Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:
                  $3{x^2} + 4{y^2} = 6x + 13$
Hướng dẫn:
biến đổi $3{x^2} - 6x + 3 = 16 - 4{y^2}$
                  $3{(x - 1)^2} = 4(4 - {y^2})$
Đáp số: $(3 ; 1), (3 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1), (1 ; 2), (1 ; -2)$

PHƯƠNG PHÁP 4: DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ
Phương pháp:
Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các biến số cũng như các biểu thức chứa trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn..

1. Phương pháp phát hiện tính chia hết của ẩn:
Ví dụ 1:
Giải phương trính với nghiệm nguyên:
                  $3x + 17y = 159$
Giải:
Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình. Ta thấy 159 và $2x$ đều chia hết cho 3 nên $17y  \vdots $3 do đó $y  \vdots $3 ( vì 17 và 3 nguyên tố cùng nhau)
Đặt $y = 3t$ ($t \in \mathbb{Z}$). Thay vào phương trình ta được:
$3x + 17.3t = 159$
$ \Leftrightarrow $ $x + 17t = 53$
Do đó: $\left\{ \begin{array}
  x = 53 - 17t  \\
  y = 3t  \\
\end{array}  \right.$ ( $t \in \mathbb{Z}$)
Đảo lại, thay các biểu thức của $x$ và $y$ vào phương trình ta được nghiệm đúng.
Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm nguyênđược xác định bằng công thức:
$\left\{ \begin{array}
  x = 53 - 17t  \\
  y = 3t  \\
\end{array}  \right.$ ($t$ là số nguyên tùy ý)

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng phương trình : ${x^2} - 5{y^2} = 27$     (1)  không có nghiệm là số nguyên.
Giải:
Một số nguyên $x$ bất kì chỉ có thể biểu diễn dưới dạng $x = 5$k hoặc $x = 5k ± 1$ hoặc $x = 5k ± 2$ trong đó $k \in \mathbb{Z}$
•    Nếu $x = 5k$ thì :
$(1) \Leftrightarrow {(5k)^2} - 5{y^2} = 27 $
$\Leftrightarrow 5(5{k^2} - {y^2}) = 27$
Điều này vô lí, vì vế trái chia hết cho 5 với mọi $k$ và $y$ là số nguyên, còn vế phải không chia hết cho 5
•    Nếu $x = 5k \pm 1$ thì :
$(1) \Leftrightarrow {(5k \pm 1)^2} - 5{y^2} = 27$
$ \Leftrightarrow 25{k^2} \pm 10k + 1 - 5{y^2} = 27$
$ \Leftrightarrow 5(5{k^2} \pm 4k - {y^2}) = 23$
Điều này cũng vô lí, vế trái chia hết cho 5 với mọi $k$ và $y$ là số nguyên, còn vế phải không chia hết cho 5
•    Nếu $x = 5k \pm 2$ thì :
$(1) \Leftrightarrow {(5k \pm 2)^2} - 5{y^2} = 27$
$ \Leftrightarrow 25{k^2} \pm 20k + 4 - 5{y^2} = 27$
$ \Leftrightarrow 5(5{k^2} \pm 4k - {y^2}) = 23$
Lập luận tương tự như trên, điều này cũng vô lí
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm là số nguyên

Ví dụ 3:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau :
                        $19x^2 + 28y^2 = 729$.
Giải
Cách 1. Viết phương trình đã cho dưới dạng
                        $(18x^2 + 27y^2) + (x^2 + y^2) = 729$            (1)
Từ (1) suy ra $x^2 + y^2$ chia hết cho 3, do đó $x$ và $y$ đều chia hết cho 3. Đặt
               $x = 3u$, $y = 3v$ $(u,v \in \mathbb{Z})$
Thay vào phương trình đã cho ta được : $19u^2 + 28v^2 = 81$.     (2)
Từ (2) lập luận tương tự trên ta suy ra $u = 3s, v = 3t$ $(s,t \in \mathbb{Z})$
Thay vào (2) ta có $19s^2 + 28t^2 = 9. $       (3)
Từ (3) suy ra $s, t$  không đồng thời bằng 0, do đó
             $19s^2 + 28t^2 ≥ 19 > 9.$
Vậy (3) vô nghiệm và do đó phương trình đã cho cũng vô nghiệm.
Cách 2. Giả sử phương trình có nghiệm
Từ phương trình đã cho ta suy ra $x^2 = -1$ (mod 4), điều này không xảy ra với mọi số nguyên $x$. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

2. Phương pháp đưa về phương trình ước số
Ví dụ 4:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
                         $xy – x – y = 2$
Giải:
Biến đổi phương trình thành:
$x(y – 1) – y = 2$
$ \Leftrightarrow $$x(y – 1) – (y – 1) = 3$
$ \Leftrightarrow $$(y – 1)(x – 1) = 3$
Ta gọi phương trình trên là phương trình ước số: vế trái là 1 tích các thừa số nguyên, vế phái là một hằng số. Ta có $x$ và $y$ là các số nguyên nên $x – 1 $ và $y – 1$ là các số nguyên và là ước của 23.
Do vai trò bình đẳng của $x$ và $y$ trong phương trình nên có thể giả sử $x \geqslant y$, khi đó
$x – 1 \geqslant y – 1$
Ta có:  $(x-1,y-1)=(3,1),(-1,-3)$
Do đó: $(x,y)=(4,2),(0,-2)$
Nghiệm nguyên của phương trình: $(4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; -2), (-2 ; 0)$

Ví dụ 5:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $x + xy + y = 9.$
Giải:
Phương trình đã cho có thể đưa về dạng :
         $(x + 1)(y + 1) = 10$.                           (1)
Từ (1) ta suy ra $(x + 1)$ là ước của 10 hay $(x + 1) \in \{  \pm 1; \pm 2; \pm 5; \pm 10\} $
Từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình là :
$(1, 4), (4, 1), (-3, -6), (-6, -3), (0, 9), (9, 0), (-2, -11), (-11, -2).$

Ví dụ 6:
Xác định tất cả các cặp nguyên dương (x; n) thỏa mãn phương trình sau
                     ${x^3} + 3367 = {2^n}$
Giải:
Để sử dụng được hằng đẳng thức $a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$ ta chứng minh $n$ chia hết cho 3 .
Từ phương trình đã cho ta suy ra ${x^3} \equiv {2^n}$(mod 7).
Nếu n không chia hết cho 3 thì $2^n$ khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 2, 4 hoặc 7, trong khi đó ${x^3}$ khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 0, 1, hoặc 6 nên không thề có đồng dư thức ${x^3} \equiv {2^n}$ (mod 7).
Vậy $n = 3m$ với $m$ là một số nguyên dương nào đó. Thay vào phương trình đã cho ta được
                             ${x^3} + 3367 = {2^{3m}}$
                   $({2^m} - x)[{(2m - x)^2} + 3x{.2^m}] = 3367$         (1)
Từ (1) ta suy ra ${2^m} - x$là ước của 3367
Hơn nữa,${({2^m} - x)^3} < {2^{3m}} - {x^3} = 3367$ nên $({2^m} - x) \in \{ 1;7;13\} $
Xét${2^m} - x = 1$, thay vào (1) ta suy ra $2^m(2^m – 1) = 2 × 561$, vô nghiệm.
Xét ${2^m} - x = 3$, thay vào (1) ta suy ra $2^m(2^m – 13) = 2 × 15$, vô nghiệm.
Xét ${2^m} - x = 7$, thay vào (1) ta suy ra $2^m(2^m – 7) = 24 × 32$. Từ đó ta có
        $m = 4; n = 3m = 12, và x = 9.$
Vậy $(x; n) = (9; 12)$

3. Phương pháp tách ra các giá trị nguyên:
Ví dụ 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình $9x + 2 = {y^2} + y$
Giải:
Biểu thị $x$ theo $y$:
     $x(y – 1) = y + 2$
Ta thấy $y \ne 1$ ( vì nếu $y = $1 thì ta có $0x = 3$ vô nghiệm)
Do đó: $x = \frac{{y + 2}}{{y - 1}} = \frac{{y - 1 + 3}}{{y - 1}} = 1 + \frac{3}{{y - 1}}$
Do $x$ là số nguyên nên $\frac{3}{{y - 1}}$ là số nguyên, do đó $y – 1$ là ước của 3. Lần lượt cho $y – 1$ bằng $-1, 1, -3, 3$ ta được
Đáp số $\left\{ \begin{array}
  x = k(k + 1)  \\
  y = 3k + 1  \\
\end{array}  \right.$ với $k$ là số nguyên tùy ý

PHƯƠNG PHÁP 5: LÙI VÔ HẠN, NGUYÊN TẮC CỰC HẠN
Ví dụ 8:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
                  ${x^3} + 2{y^3} = 4{z^3}$
Giải:
Hiển nhiên $x \vdots 2$. Đặt $x = 2{x_1}$ với ${x_1}$ nguyên. Thay vào (1) rồi chia hai vế cho 2 ta được:
                    $4x_1^3 + {y^3} = 2{z^3}$                      (2)
Do đó $y \vdots 2$. Đặt $y = 2{y_1}$ với ${y_1}$ nguyên. Thay vào (2) rồi chia hai vế cho 2 ta được:
                   $2x_1^3 + 4y_1^3 = {z^3}$                       (3)
Do đó $z \vdots 2$. Đặt $z = 2{z_1}$ với ${z_1}$ nguyên. Thay vào (3) rồi chia hai vế cho 2 được:
                   $x_1^3 + 4y_1^3 = 4z_1^3$                       (4)
Như vậy nếu (x , y , z) là nghiệm của  (1) thì $({x_1},{y_1},{z_1})$ cũng là nghiệm của (1) trong đó $x = 2{x_1},y = 2{y_1},z = 2{z_1}$.
Lập luận tương tự như trên, $({x_2},{y_2},{z_2})$ cũng là nghiệm của (1) trong đó ${x_1} = 2{x_2},{y_1} = 2{y_2},{z_1} = 2{z_2}$.
Cứ tiếp tục như vậy ta đi đến: $x, y, z$ chia hết cho ${2^k}$ với $k$ là số tự nhiên tùy ý. Điều này chỉa xảy ra khi $x = y = z = 0$.
Đó là nghiệm nguyên duy nhất của (1)

Ví dụ 9:
Tìm ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x, y, z$ thỏa mãn :
                                ${x^3} + {y^3} + {z^3} = {(x + y + z)^2}$
Giải:
Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể giả sử $x < y < z$.
Áp dụng bất đẳng thức :
        $\frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{3} \geqslant {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3}$
Với mọi $x, y, z ≥ 0$ ta suy ra $x + y + z ≤ 9.$
Dấu bằng không xảy ra vì x, y, z đôi một khác nhau.
Vậy $x + y + z ≤ 8. $                                    (1)
Mặt khác: $x + y + z ≥ 1 + 2 + 3 = 6$.          (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra $x + y + z \in \{ 6;7;8\} $
Từ đây kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm được $x, y, z $
Vậy $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ và các hoán vị của bộ ba số này

PHƯƠNG PHÁP 6: XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Ví dụ 10:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
             $1! + 2! + ... + x! = {y^2}$           (1)
Giải:
Cho `x` lần lượt bằng 1; 2; 3; 4, ta có ngay 2 nghiệm nguyên dương $(x ; y)$ của phương trình là $(1 ; 1), (3 ; 3)$
Nếu $x > 4$ thì dễ thấy $k!$ với $k > 4$ đều có chữ số tận cùng bằng 0
$ \Rightarrow $ $1! + 2! + 3! + 4! + … + x! = 33 + 5! + … + x!$ có chữ số tận cùng bằng 3.
Mặt khác vế phải là số chính phương nên không thể tận cùng là 3.
Vậy phương trình (1) chỉ có hai nghiệm nguyên dương  $(x ; y)$ là (1 ; 1) và (3 ; 3)

Ví dụ 11:
Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình:
             ${x^2} + x - 1 = {3^{2y + 1}}$        (1)
Giải:
Cho x nhận các giá trị từ đến 9, dễ dàng xác định được chữa số tận cùng của ${x^2} + x - 1$ chì nhận các giá trị 1; 5; 9. Mặt khác ta thấy ${3^{2y + 1}}$ là lũy thừ bậc lẻ của 3 nên chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 3 hoặc 7, khác với 1; 5; 9.
Vậy (1) không thể xảy ra. Nói các khác phương trình (1) không có nghiệm nguyên dương.

Bài tập rèn luyện:
Bài 1:
Tìm nghiệm của phương trình:
                  $2^x – 3 = 65y$
Hướng dẫn:
Ta chứng tỏ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. Giả sử phương trình $2^x – 3 = 65y$ có nghiệm nguyên ta suy ra
      $2^x = 3 (mod 5)$ và $2^x = 3$ (mod 13)
Từ $2^x = 3$ (mod 5) suy ra $x = 3$ (mod 4)     (1)
Từ $2^x = 3$ (mod 13) ta suy ra $x = 4$ (mod 12), trái với (1)
Bài 2:
Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau :
a)    $15x^2 – 7y^2 = 9$
b)    $29x^2 – 28y^2 = 2000$
c)    $1999x^2 – 2000y^2 = 2001$
d)    $x^{2002} – 2000.y^{2001} = 2003$
e)    $19x^2 – 84y^2 = 198$
Hướng dẫn:
a) Từ phương trình đã cho ta suy ra y chia hết cho 3. Đặt $y = 3y_1$. Ta có
                           $5x_2 – 21y_1^2 = 3$   (1)
Từ (1) suy ra x chia hết cho 3. Đặt x = 3x1. Ta có
                          $15x_1^2 – 7y_1^2 = 1$  (2)
Từ (2) suy ra $y_1^2 = -1$ (mod 3), vô nghiệm
b) Từ phương trình đã cho ta suy ra $x^2 = 5$ (mod 7). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
c)     Từ phương trình đã cho ta suy ra $x^2 = -1$ (mod 4). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
d)    Từ phương trình đã cho ta suy ra $x$ lẻ và $x^2002 = 1$ (mod 4)
Suy ra 2003 = 1 (mod 4), vô lí. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
e)   Giả sử phương trình đã cho có nghiệm. Khi đó: $y^2 + 1 = 0$ (mod 19). Vì 19 là số nguyên tố có dạng $4k + 3$ nên $y^2 + 1 = 0$ (mod 19) ta suy ra 19 | 1, vô lí
Bài 3:  
Tìm các số nguyên $x, y, z, t$ sao cho :
   a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2}{y^2}$
   b) ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 2xyz$
   c) ${x^2} + y{}^2 + {z^2} + {t^2} = 2xyzt$
Hướng dẫn:
Sử dụng phương pháp xuống thang
a) Phương trình đã cho : ${x^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2}{y^2}$      (1)
Nếu cả $x$ và $y$ đều lẻ thì từ (1) suy ra $z$ chẵn. Khi đó, ${x^2} + {y^2} + {z^2} \equiv 2(\bmod 4)$ còn ${x^2}{y^2} \equiv 1(\bmod 4):$ vô lí
Vậy 1 trong 2 biến $x, y$ phải chẵn
Giả sử x chẵn, từ (1) suy ra ${y^2} + {z^2} \vdots 4$ do đó cả $y$ và $z$ đều phải chẵn
Đặt $x = 2{x_1},y = 2{y_1},z = 2{z_1}({x_1},{y_1},{z_1} \in \mathbb{N})$.
Thay vào (1) ta có $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 4x_1^2.y_1^2.$         (2)
Từ (2) lại lập luận như trên ta suy ra ${x_1},{y_1},{z_1}$ đều chẵn
Cứ tiếp tục như vậy sẽ dẫn đến $x  \vdots {2^k},y  \vdots {2^k},z  \vdots {2^k},\forall k \in \mathbb{N}.$
Điều này chỉ xảy ra khi $x = y = z = 0$
b) , c) tương tự

Bài 4:  
Cho phương trình: $x^3 – 3xy^2 + y^3 = n$
a)    Giả sử phương trình đã cho có một nghiệm nguyên $(x, y)$. Chứng minh rằng phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm nguyên
b)    Giải phương trình tìm nghiệm nguyên với $n = 2002$
Hướng dẫn:
a)    Ta có
${x^3} - 3x{y^2} + {y^3} = {(y - x)^3} - 3(y - x){x^2} + {( - x)^3}$

$ = {( - y)^3} - 3( - y){(x - y)^2} + {(x - y)^3}.$
b)   Từ phương trình đã cho ta suy ra ${x^3} + {y^3} \equiv 1(\bmod 3).$
Suy ra $x \equiv 1(\bmod 3)$ và $y \equiv 0(\bmod 3)$ hoặc $x \equiv 0(\bmod 3)$ và $y \equiv 1(\bmod 3)$
Cả hai trường hợp ta đều có ${x^3} - 3x{y^2} + {y^3} \equiv 1(\bmod 9)$.
Do đó phương trình đã cho không còn nghiệm khi $n = 2002$.

GIỚI THIỆU
Không giống như các phương trình nghiệm thực hay nghiệm phức, phương trình nghiệm nguyên khó giải quyết hơn vì điều kiện ràng buộc nguyên của nhiệm. Vì vậy với phương trình nghiệm nguyên, ta thường không có một phương pháp hoặc định hướng giải cụ thể nào như với phương trình nghiệm thực và nghiệm phức. Tuy nhiên, ta có thể áp dụng một số phương pháp hiệu quả để giải quyết lớp phương trình này. Trong chuyên đề này ta sẽ nêu ra một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên. Tùy vào từng bài toán mà ta có những dấu hiệu nhận biết để chọn phương pháp thích hợp.

Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên (từ đơn giản đến phức tạp):
1.    Xét số dư của từng vế
2.    Đưa về dạng tổng
3.    Dùng bất đẳng thức
4.    Dùng tính chia hết, tính đồng dư
5.    Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn
6.    Xét chữ số tận cùng
7.    Dùng tính chất của số chính phương
8.    Tìm  nghiệm riêng
9.    Hạ bậc

PHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ
Ví dụ 1:
Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:
a) ${x^2} - {y^2} = 1998$
b) ${x^2} + {y^2} = 1999$
Giải:
a) Dễ chứng minh ${x^2},{y^2}$ chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên ${x^2} - {y^2}$ chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
b) ${x^2},{y^2}$ chia cho 4 có số dư 0, 1 nên ${x^2} + {y^2}$ chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 2:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
$9x + 2 = {y^2} + y$
Giải:
Biến đổi phương trình: $9x + 2 = y(y + 1)$
Ta thấy  vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên $y(y + 1)$ chia cho 3 dư 2.
Chỉ có thể: $y = 3k + 1$, $y + 1 = 3k + 2$ với k nguyên
Khi đó: $9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2)$
            $ \Leftrightarrow 9x = 9k(k + 1)$
            $ \Leftrightarrow x = k(k + 1)$
Thử lại, $x = k(k + 1)$, $y = 3k + 1$ thỏa mãn phương trình đã cho.
Đáp số $\left\{ \begin{array}
  x = k(k + 1)  \\
  y = 3k + 1  \\
\end{array}  \right.$ với $k$ là số nguyên tùy ý

PHƯƠNG PHÁP 2. ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG
Phương pháp:
Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương.

Ví dụ 3:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
                      ${x^2} + {y^2} - x - y = 8$              (1)
Giải:
 (1)$ \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 4x - 4y = 32$
     $\begin{array}
   \Leftrightarrow (4{x^2} + 4x + 1) + (4{y^2} - 4y + 1) = 34  \\
   \Leftrightarrow |2x - 1{|^2} + |2y - 1{|^2} = {3^2} + {5^2}  \\
\end{array} $
Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có duy nhất một dạng phân tích thành tồng của hai số chính phương ${3^2},{5^2}$. Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng:
                    $\left\{ \begin{array}
  |2x - 1| = 3  \\
  |2y - 1| = 5  \\
\end{array}  \right.$  hoặc  $\left\{ \begin{array}
  |2x - 1| = 5  \\
  |2y - 1| = 3  \\
\end{array}  \right.$
Giải các hệ trên $ \Rightarrow $phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: (2 ; 3), (3 ; 2), ($ - $1 ; $ - $2), ($ - $2 ; $ - $1)

PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp:
Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức …

1. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn
Ví dụ 4:
Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Giải:
Cách 1: Gọi các số nguyên dương phải tìm là $x, y, z$. Ta có:
                       $x + y + z = x.y.z$     (1)
Chú ý rằng các ẩn $x, y, z$ có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng hạn: $1 \leqslant x \leqslant y \leqslant z$
Do đó: $xyz = x + y + z \leqslant 3z$
Chia hai vế của bất đảng thức $xyz \leqslant 3z$ cho số dương z ta được: $xy \leqslant 3$
Do đó $xy \in \{ 1;2;3\} $
Với $xy = 1$, ta có $x = 1, y = 1$. Thay vào (1) được $2 + z = z$ (loại)
Với $xy = 2$, ta có $x = 1, y = 2$.  Thay vào (1) được $z = 3$
Với $xy = 3$, ta có $x = 1, y = 3$.  Thay vào (1) được $z = 2$ loại vì $y \leqslant z$
Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3.
Cách 2: Chia hai vế của (1) cho $xyz \ne 0$ được:
                     $\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}} = 1$
Giả sử $x \geqslant y \geqslant z \geqslant 1$ ta có
$1 = \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}} \leqslant \frac{1}{{{z^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{3}{{{z^2}}}$
Suy ra $1 \leqslant \frac{3}{{{z^2}}}$ do đó ${z^2} \leqslant 3$ nên z = 1. Thay z = 1 vào (1):
         $x + y + 1 = xy$
      $ \Leftrightarrow xy - x - y = 1$
      $ \Leftrightarrow x(y - 1) - (y - 1) = 2$
      $ \Leftrightarrow (x - 1)(y - 1) = 2$
Ta có $x - 1 \geqslant y - 1 \geqslant 0$ nên $(x-1,y-1)=(2,1)$
Suy ra $(x,y)=(3,2)$
Ba số phải tìm là 1; 2; 3

Ví dụ 5:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau :
                $5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt .$
Giải:
Vì vai trò của $x, y, z, t$ như nhau nên có thể giả thiết
                  x ≥ y ≥ z ≥ t.
Khi đó : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10
     $ \Rightarrow yzt \leqslant 15 \Rightarrow {t^3} \leqslant 15 \Rightarrow t \leqslant 2$
Với t = 1 ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15
     $ \Rightarrow 2yz \leqslant 30 \Rightarrow 2{z^2} \leqslant 30 \Rightarrow z \leqslant 3$
Nếu z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay
     (2x – 5)(2y – 5) = 65 .
Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là
      (x = 35; y = 3) và (x = 9; y = 5).
Giải tương tự cho các trường còn lại và trường hợp $t = 2$.
Cuối cùng ta tìm được nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là $(x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1)$ và các hoán vị của các bộ số này.

2. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn
Ví dụ 6:
Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:
                $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$
Giải:
Do vai trò bình đẳng của $x$ và $y$, giả sử $x \geqslant y$. Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn (là $y$).
Hiển nhiên ta có $\frac{1}{y} < \frac{1}{3}$ nên $y > 3$                (1)
Mặt khác do $x \geqslant y \geqslant 1$ nên $\frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{y}$. Do đó:
$\frac{1}{3} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leqslant \frac{1}{y} + \frac{1}{y} = \frac{2}{y}$ nên $y \leqslant 6$     (2)
Ta xác định được khoảng giá tri của y là $4 \leqslant y \leqslant 6$
Với $y = 4$ ta được: $\frac{1}{x} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{{12}}$ nên $x = 12$
Với $y = 5$ ta được: $\frac{1}{x} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{{15}}$ loại vì $x$ không là số nguyên
Với $y = 6$ ta được: $\frac{1}{x} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ nên $x = 6$
Các nghiệm của phương trình là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6)

3. Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên
Ví dụ 7:
Tìm các số tự nhiên $x$ sao cho:
           ${2^x} + {3^x} = {5^x}$
Giải:
Viết phương trình dưới dạng:
${\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} = 1$          (1)
Với $x = 0$ thì vế trái của (1) bằng 2, loại.
Với$ x = 1$ thì vế trái của (1) bằng 1, đúng
Với $x \geqslant 2$ thì ${\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} < \frac{2}{5},{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} < \frac{3}{5}$ nên:
                    ${\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} < \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1$ loại
Nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1

4. Sử dụng diều kiện $\Delta \geqslant 0$ để phương trình bậc hai có nghiệm
Ví dụ 8:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
             $x + y + xy = {x^2} + {y^2}$          (1)
Giải:
Viết (1) thành phương trình bậc hai đối với $x$:
 ${x^2} - (y + 1)x + ({y^2} - y) = 0$           (2)
Điều kiện cần để (2) có nghiệm là $\Delta \geqslant 0$
$\vartriangle  = {(y + 1)^2} - 4({y^2} - y) =  - 3{y^2} + 6y + 1 \geqslant 0$
                   $ \Leftrightarrow 3{y^2} - 6y - 1 \leqslant 0$
                   $ \Leftrightarrow 3{(y - 1)^2} \leqslant 4$
Do đó $ \Leftrightarrow {(y - 1)^2} \leqslant 1$ suy ra: $y\in \{0,1,2\}$  
Với $y = 0$ thay vào (2) được ${x^2} - x = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0;{x_2} = 1$
Với $y = 1$ thay vào (2) được ${x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow {x_3} = 0;{x_4} = 2$
Với $y = 2$ thay vào (2) được ${x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow {x_5} = 1;{x_6} = 2$
Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng với phương trình (1)
Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2)

Bài tập rèn luyện:
Bài 1:
Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên $(x, y)$ thỏa mãn :
                  $y(x – 1) = x^2 + 2.$
Hướng dẫn:
Ta có $y(x – 1) = x^2 + 2$$ \Rightarrow y = \frac{{{x^2} + 2}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{3}{{x - 1}}$
Vì $x, y$ nguyên nên $x – 1$ là ước của 3
Vậy$ (x, y) = (4, 6) ; (2, 6) ; (-2, -2 ) ; (0, -2)$

Bài 2:
Tìm $x, y$ $ \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn :
                  $2x^2 – 2xy = 5x – y – 19$ .
Hướng dẫn:
$(x, y) = (0, -19) ; (1, 16) ; (9, 8) và (-8, -11)$

Bài 3:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
                  $xy^2+ 2xy – 243y + x = 0$
Hướng dẫn:
Ta có $xy^2+ 2xy – 243y + x = 0$$ \Leftrightarrow $ $x(y + 1)^2 = 243y$      (1)
Từ (1) với chú ý rằng $(y + 1; y) = 1$ ta suy ra $(y + 1)^2$ là ước của 243.
Vậy $(x, y) = (54, 2) ; (24, 8)$

Bài 4:
Tìm các số nguyên dương thỏa mãn :
      $x < y  < z$ và $5^x + 2.5^y + 5^z = 4500.$
Hướng dẫn:
Nếu $z < 5$ thì $5^x + 2.5^y + 5^z < 4500.$
Nếu $z > 5$ thì $5^x + 2.5^y + 5^z >  4500.$
Vậy $x = 3, y = 4, z = 5.$

Bài 5:
Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:  
                  $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$
Hướng dẫn:
Giả sử $1 \leqslant x \leqslant y$ thì $\frac{1}{x} \geqslant \frac{1}{y}$
$\begin{array}
\frac{1}{4} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leqslant \frac{2}{x} \Rightarrow x \leqslant 8  \\
\frac{1}{x} < \frac{1}{4} \Rightarrow x > 4  \\
\end{array} $
Vậy $4 < x \leqslant 8$, thử chọn để tìm nghiệm.
Đáp số: (5 ; 20), (20 ; 5), (6 ; 12), (12 ; 6), (8 ; 8)

Bài 6:
Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:
                       ${x^{17}} + {y^{17}} = {19^{17}}$
Hướng dẫn:

Giả sử ${x^{17}} + {y^{17}} = {19^{17}}$ và $1 \leqslant x \leqslant y < 19$
Ta có:
$\begin{array}
  {19^{17}} \geqslant {(y + 1)^{17}}  \\
   \Rightarrow {19^{17}} > {y^{17}} + 17{y^{16}}  \\
\end{array} $
Vậy $x > 17$, chỉ có thể $x = y = 18$.
Thử lại, $x = y = 18$ không thỏa.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.