Sổ tay cá nhân

Tạo bởi: chi-thich-an
Danh sách câu hỏi trong sổ
0
phiếu
0đáp án
20K lượt xem

CÁC ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về:
1. Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình
2. Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình
3. Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình
4. Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình

Phần 1. Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình
Bài 1.

Giải các phương trình
a. x2011+x=2                b. x2+x1=5
Lời giải:
a. Đặt f(x)=x2011+xf(x)=2011x2010+1>0
f(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: f(1)=2 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
b. Điều kiện x1 và x = 1 không là nghiệm của phương trình
Đặt f(x)=x2+x1 với x > 1
f(x)=2x+12x1>0,x>1
f(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: f(2)=5 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 2.
Giải phương trình x+3+x+7x+2=4    (1)
Lời giải
Điều kiện của phương trình 7412x7+412   (*)
(1)x+3+x+7x+24=0
Xét g(x)=x+3+x+7x+24g(x)=12x+3+1+72x+32x+7x+2>0,x()
g(x) là hàm số đồng biến
Mặt khác: g(1) = 0
Vậy: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Thật vậy:
Khi x > 1 thì g(x) > g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm
Khi x < 1 thì g(x) < g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Bài 3.
Giải các phương trình sau 5x31+32x1=4x(1)
Lời giải
Điều kiện: x135
(1)5x31+32x1+x=4
Xét f(x)=5x31+32x1+xf(x)=15x225x31+23.13(2x1)2+1>0
hàm số đã cho đồng biến trên (135;+)
Mặt khác: f(1)=4 nên x = 1 là nghiệm duy nhất
Kết luận: S={1}

Bài 4.
Giải phương trình 3x+2+3x+1=32x2+1+32x2(1)
Lời giải
Phương trình (1) được viết lại 3x+1+1+3x+1=32x2+1+32x2(2)
Xét f(t)=3t+1+3tf(t)=13.13(t+1)2+13.13t2>0
hàm số đồng biến trên R
Mặt khác: (2)f(x+1)=f(2x2)x+1=2x2[=1x=12

Bài 5.
Giải phương trình 3x+4x=5x(1)
Lời giải
(1)(35)x+(45)x=1
Xét f(x)=(35)x+(45)x1f(x)=(35)xln35+(45)xln45<0,x
f(x) là hàm đồng biến trên R
Mặt khác: f(2)=0 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 6.
Giải phương trình 9x+2(x2)3x+2x5=0(1)
Lời giải
Đặt t=3x>0
Phương trình trở thành t2+2(x2)t+2x5=0[=1(loai)t=52x
Với t=52x3x=52x3x+2x5=0
Xét f(x)=3x+2x5f(x)=3xln3+2>0,x
f(x) là hàm đồng biến
Mặt khác: f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 7.
Giải phương trình x+x5+x+7+x+16=14
Lời giải
Điều kiện của phương trình x5. Nhận xét x = 5 không là nghiệm của phương trình
Xét f(x)=x+x5+x+7+x+16
f(x)=12x+12x5+12x+7+12x+16>0,x>5
f(x) là hàm số đồng biến trên (5;+)
Mặt khác: f(9)=14 nên x = 9 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 8.
Giải phương trình 2x2x+2x1=(x1)2(1)
Lời giải
1)2x2x+2x1=x22x+12x2x+2x1=x2x(x1)2x1+x1=2x2x+x2x(2)
Xét f(t)=2t+tf(t)=2tln2+1>0,t
f(t) là hàm đồng biến
Mặt khác: (2)f(x1)=f(x2x)x1=x2xx22x+1=0x=1
Kết luận: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 9.
Giải phương trình 25x2(3x)5x+2x7=0(1)
Lời giải
Đặt t=5x>0. Phương trình trở thành t22(3x)t+2x7[=1(l)t=72x
Với t=72x5x=72x5x+2x7=0
Xét f(x)=5x+2x7f(x)=5xln5+2>0,x
f(x) là hàm đồng biến
Mặt khác: f(1)=0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 10.
Giải phương trình log2(1+3x)=log7x(1)
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình x > 0
Đặt t=log7xx=7t
Phương trình (1) trở thành log2(1+37t)=t1+7t3=2t(12)t+(373)t=1
Xét f(t)=(12)t+(373)t1f(t)=(12)t.ln12+(373)t.ln373<0,t
f(t) là hàm số nghịch biến trên R
Mặt khác: f(3) = 0 nên t=3x=343 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 11.
Giải phương trình log5x=log7(x+2)
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là x>0
Đặt t=log5xx=5t
Phương trình trở thành t=log7(5t+2)5t+2=7t5t7t+2=0(57)t+2(17)t1=0
Xét f(t)=(57)t+2(17)t1f(t)=(57)t.ln57+2(17)t.ln17<0,t
f(t) là hàm nghịch biến trên R phương trình f(t) = 0 có không quá 1 nghiệm trên R
Mặt khác: f(1)=0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Phần 2. Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình
Bài 1.

Giải bất phương trình 2x3+3x2+6x+16<23+4x
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình là 2x4
Bất phương trình được viết lại thành 2x3+3x2+6x+164x<23(2)
Nhận thấy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình trên
Xét f(x)=2x3+3x2+6x+164xf(x)=3x2+3x+32x3+3x2+6x+16+14x>0,x(2;4)
f(x) là hàm số đồng biến trên (-2; 4)
Mặt khác: (2)f(x)<f(1)x<1
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là 2x<1

Bài 2.
Giải bất phương trình x+9+2x+4>5
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là x2
Nhận thấy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho
Xét f(x)=x+9+2x+4f(x)=12x+9+12x+4>0,x>2
f(x) là hàm số đồng biến trên (2;+)
Mặt khác: x+9+2x+4>5f(x)>f(0)x>0
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 0

Bài 3.
Giải bất phương trình 3x+4+22x+4>13
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình x2
Nhận xét x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho
Xét f(x)=3x+4+22x+4f(x)=1x+43x+4.ln3+12x+422x+4.ln2>0,x>2
f(x) là hàm số đồng biến trên (2;+)
Mặt khác: 3x+4+22x+4>13f(x)>f(0)x>0
So với điều kiện ta có x>0 là nghiệm của bất phương trình

Bài 4.
Giải bất phương trình log2x+1+log3x+9>1
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là x>1
Xét
(x)=log2x+1+log3x+9=12log2(x+1)+12log3(x+9)f(x)=12(x+1)ln2+12(x+9)ln3>0,x>1
f(x) là hàm số đồng biến trên (1;+)
Ta có: log2x+1+log3x+9>1f(x)>f(0)x>0
So với điều kiện ta có x > 0 là nghiệm của bất phương trình

Bài 5.
Giải bất phương trình sau 7x+7+7x6+249x2+7x42<18114x  (1)
Lời giải
Điều kiện xác định của bất phương trình x67
(1) 7x+7+7x6+249x2+7x42181+14x<0
Đặt t=7x+7+7x6t2=14x+249x2+7x42      (t0)
Phương trình trở thành : t2+t182<014<t<13  kết hợp điều kiện (t0)   
ta được 0t13(1)7x+7+7x6<13  (2); điều kiện x[67;+)
Xét hàm f(x)=7x+7+7x6
f(x)=127x+7+127x6>0;x(67;+)  hàm số đồng biến trên x[67;+)
Mặt khác f(6)=13  nên f(x)<13x<6  vậy nghiệm của bất phương trình là  67x6  hay  x[67.6)

Bài 6.
Giải bất phương trình log7x>log3(2+x)(1)
Lời giải:
Điều kiện của bất phương trình x > 0
Đặt t=log7x
Phương trình (1) trở thành t>log3(2+7t)2+7t23t<02.(13)t+(73)t1<0
Xét f(t)=2.(13)t+(73)t1f(t)=2.(13)tln13+(73)tln73<0
f(t) là hàm số nghịch biến
Mặt khác: f(2) = 0 nên 2.(13)t+(73)t1<0f(t)<f(2)t>2log7x>2x>49

Bài 7.
Giải bất phương trình 8x3+2x<(x+2)x+1
Lời giải:
Điều kiện x1
)(2x)3+2x<(x+1+1)x+1(2x)3+2x<(x+1)3+x+1f(2x)<f(x+1),f(t)=t3+t2x<x+1[<0{04x2<x+1[<0{00<x<1+178
Vậy bất phương trình có nghiệm 1x<1+178

Phần 3. Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình
Bài 1.

Giải hệ phương trình {+x=(y+2)y+1x2+y2=1
Lời giải:
1)x3+x=(y+2)y+1x3+x=(y+1)3+y+1f(x)=f(y+1),f(t)=t3+tx=y+1
Thay x=y+1 vào (2) ta có: y+1+y2+1=0[=0x=1y=1x=0
Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 0) và (0; -1)

Bài 2.
Giải hệ phương trình {3y=y33x(1)2x2y2=4
Lời giải
(1)x3+3x=y3+3y
Xét f(t)=t3+3tf(t)=3t2+3>0
f(t) là hàm số đồng biến trên R
Mặt khác: x3+3x=y3+3yf(x)=f(y)x=y
Ta được hệ phương trình như sau: {=y2x2y2=4{=yx=±2
Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (2; 2) và (-2; -2)

Bài 3.
Giải hệ phương trình {x+3+10y=5y+3+10x=5
Lời giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình 3x,y10
Nhận thấy x = -3, y = 10 không là nghiệm của hệ phương trình
Trừ hai vế của hệ cho nhau ta được phương trình x+310x=y+310y
Xét hàm số f(t)=t+310tf(t)=12t+3+1210t>0,t(3;10)
f(t) là hàm số đồng biến trên (-3; 10)
x+310x=y+310yf(x)=f(y)x=y
Ta được hệ phương trình như sau {=yx+3+10y=5{=yx+3+10x=5{=yx=1{=1y=1
Kết luận: x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình

Bài 4.
Giải hệ phương trình {1x=y1y2y=x3+1
Lời giải
Điều kiện xác định của hệ phương trình x0,y0
Xét  hàm số f(t)=t1tf(t)=1+1t2>0,t0
f(t) là hàm số đồng biến trên R{0}
Mặt khác: x1x=y1yf(x)=f(y)x=y
Ta được hệ phương trình như sau {=y2y=x3+1{=yx32x+1=0{=yx=1,x=1±52
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm x=y=1,x=y=1±52

Phần 4. Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình
Bài 1.
Tìm m để phương trình m(x22x+2+1)+x(2x)0 có nghiệm x[0;1+3]
Lời giải:
m(x22x+2+1)+x(2x)0m(x22x+2+1)(x22x)0()
Đặt t=x22x+20t=x1x22x+2=0x=1
Vẽ bảng biến thiên suy ra x[0;1+3]t[1;2]
()m(t+1)t2+20t2m(t+1)20mt22t+1
Xét f(t)=t22t+1,1t2f(t)=t2+2t+2(t+1)2>0,1t2
f(t) là hàm số đồng biến
Bất phương trình được thỏa khi mmin1x2f(x)=f(1)=12

Bài 2.
Tìm m để phương trình sau có nghiệm x(x1)+4(x1)xx1=m()
Lời giải:
Điều kiện của phương trình x0x1
Với điều kiện trên thì ()x(x1)+4x(x1)=m()
Đặt t=x(x1), t0
Phương trình (**) trở thành t2+4tm=0 có nghiệm t0
Điều kiện trên được thỏa khi m4

Bài 3.
Tìm m để phương trình 2(x+2)(4x)+x2=2xm có nghiệm
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình 2x4
Đặt t=(x+2)(4x)(0t3)x2+2x=t28
Phương trình trở thành 2t=t28m
g(t)=t22t8=m
Phương trình có nghiệm khi min[0;3]g(t)mmax[0;3]g(t)
Ta có: g(t)=2t2
g(t)=0t=1
Vẽ bảng biến thiên ta có
min[0;3]g(t)mmax[0;3]g(t)g(1)mg(3)9m5

CÁC ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

CÁC ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Trong chuyên đề này, ta sẽ tìm hiểu về: 1. Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình 2. Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình 3. Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình 4. Ứng dụng tính...
0
phiếu
0đáp án
96K lượt xem

BIỆN LUẬN THAM SỐ ĐỂ HÀM PHÂN THỨC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên D
* Hàm số đồng biến trên (a,b)Dkhif(x)0,x(a,b)
* Hàm số nghịch biến trên (a,b)Dkhif(x)0,x(a,b)

2. Xét tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c, a0
* ax2+bx+c0{a>0Δ0
* ax2+bx+c0{a<0Δ0

3. Giả sử tồn tại maxxKf(x)
(x)<g(m),xKmaxxKf(x)<g(m)f(x)g(m),xKmaxxKf(x)g(m)
Giả sử tồn tại minxKf(x)
(x)>g(m),xKminxKf(x)>g(m)f(x)g(m),xKminxKf(x)g(m)

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.

Tìm m  để hàm số y=mx2x+m3 luôn đồng biến
Lời giải:
TXĐ: D=R{3m}
y=m23m+2(x+m3)2
Hàm số luôn đồng biến khi y0,x3m
m23m+20m1m2

Bài 2.
Cho hàm số y=x2+m2x+m2x+1. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
Lời giải:
TXĐ: D=R{1}
y=x2+2x+m2m+2(x+1)2
Hàm số đồng biến trên tập xác định khi y0,x1
x2+2x+m2+m20,x1{=1>0Δ=m2m+30(1)2+2(1)+m2+m20m<1+132m>1132

Bài 3.
Cho hàm số y=xxm. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
Lời giải:
TXĐ: D=R{m}
y=m(xm)2
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi y0,xm
m0m0

Bài 4.
Cho hàm số y=mx2(m+2)x+m22m+2x1. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó
Lời giải:
TXĐ: D=R{1}
y=mx2+2mxm2+3m(x1)2
Trường hợp 1: m=0y=0 chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số nên m=0 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m0
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi y0,x1
mx2+2mxm2+3m0,x1{=m<0Δ=m32m20m12+2m.1m2+3m0{<0m20m0,m6m<0

Bài 5.
Cho hàm số y=(m+1)x22mx(m3m2+2)xm. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D=R{m}
y=(m+1)x22(m2+m)x+m3+m2+2(xm)2
Trường hợp 1: m=1y=2(x+1)2>0,x1 m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m1
Hàm số đồng biến trên R khi y0,xm
(m+1)x22(m2+m)x+m3+m2+20,xm{=m+1>0Δ=2m20(m+1)m22(m2+m).m+m3+m2+20{>1m120m>1

Bài 6.
Tìm m để hàm số y=mx2+(1m)x+2m2x3 đồng biến trên [4;+)
Lời giải:
y=2mx26mx3m(2x3)2
Hàm số đồng biến trên [4;+)khi y=2mx26mx3m(2x3)20,x[4;+)
2mx26mx3m0,x[4;+)m32x26x1=g(x),x[4;+)mmaxx[4;+)g(x)
Ta có: g(x)=6(2x3)(2x26x1)2<0,x[4;+) g(x) là hàm số nghịch biến trên [4;+) nên mmaxx[4;+)g(x)=f(4)=37

Bài 7.
Định m để hàm số y=2x23x+m2x+1 nghịch biến trong khoảng (12;+)
Lời giải:
TXĐ: D=R{12}
y=4x24x32m(2x+1)2
Hàm số nghịch biến trên (12;+) khi y=4x24x32m(2x+1)20,x(12;+)
m2x22x32=g(x),x(12;+)mmax(12;+)g(x)
Ta có: g(x)=4x2<0,x(12;+)
Vậy: mmax(12;+)g(x)=g(12)=1

Bài 8.
Cho hàm số y=2x2+mx+2mx+m1 (Cm). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+)
Lời giải:
TXĐ: D=R{1m}
y=2x2+4(m1)x+m22(x+m1)2
Hàm số đồng biến trên (0;+) khi y=2x2+4(m1)x+m22(x+m1)20,x(0;+)
g(x)=2x2+4(m1)x+m220,x(0;+)
Tam thức g(x) có biệt thức Δ=2(m2)2. Ta xét các trường hợp:
+ Trường hợp 1: Δ=0m=2y0,x1 hàm số đồng biến trên (0;+)
Nên m = 2 thỏa yêu cầu bài toán
+ Trường hợp 2: Δ>0m2
Với điều kiện trên thì điều kiện bài toán được thỏa khi phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa x1<x2<0{>0S=x1+x2>0P=x1x2>0{02(1m)>0m222>0{0m<1m<2m>2m<2
Kết luận: với m<2m=2 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Bài 9.

Giải bất phương trình 332x+52x12x6             (1)
Lời giải
Điều kiện của bất phương trình là 12x32()
Xét g(x)=332x+52x12xg(x)=332x102x12<0,x()
g(x) là hàm số nghịch biến trên (12;32)
Mặt khác: g(1) = 6
Khi đó: (1)g(x)6g(x)g(1)x1
Kết luận: x1 là nghiệm của bất phương trình
Giải bất phương trình x22x+3x26x+11>3xx1(1)
Điều kiện của bất phương trình: 1x3
(1)(x1)2+2+x1>(x3)2+2+3x
Xét f(t)=t2+2+t,t0f(t)=tt2+2+12t>0
f(t) đồng biến trên (0;+)
Mặt khác: (1)f(x1)>f(3x)x1>3xx>2
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là 2<x3

Bài 10.
Giải phương trình log3(x2+x+32x2+4x+5)=x2+3x+2(1)
Lời giải
Điều kiện {+x+3>02x2+4x+5>0(đúng x)
1)log3(x2+x+3)log3(2x2+4x+5)=(2x2+4x+5)(x2+x+3)log3(x2+x+3)+(x2+x+3)=log3(2x2+4x+5)+(2x2+4x+5)(2)
Xét f(t)=log3t+tf(t)=1t.ln3>0,t>0
Mặt khác: (2)f(x2+x+3)=f(2x2+4x+5)x2+3x+2=0[=1x=2
Vậy: S={1;2}

BIỆN LUẬN THAM SỐ ĐỂ HÀM PHÂN THỨC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN

BIỆN LUẬN THAM SỐ ĐỂ HÀM PHÂN THỨC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên D * Hàm số đồng biến trên (a,b)Dkhif(x)0,x(a,b) * Hàm số nghịch...
0
phiếu
0đáp án
76K lượt xem

BIỆN LUẬN THAM SỐ ĐỂ ĐA THỨC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên D
* Hàm số đồng biến trên (a,b)Dkhif(x)0,x(a,b)
* Hàm số nghịch biến trên (a,b)Dkhif(x)0,x(a,b)
2. Xét tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c, a0
* ax2+bx+c0{>0Δ0
* ax2+bx+c0{<0Δ0

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.

Cho hàm số y=x33(m1)x2+3m(m2)x+1. Tìm m để hàm số
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R.      y=3x26(m1)x+3m(m2)
a. Hàm số đồng biến trên R khi y0,x
{=3>0Δ=6m+90m32
b. Hàm số nghịch biến trên R khi y0,x
{=3<0Δ=6m+90(V.Ng)
Vậy: Không có giá trị nào để hàm số nghịch biến trên R

Bài 2.
Cho hàm số y=x2(mx)m. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
Lời giải:    
TXĐ: D = R
y=x3+mx2m
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi y0,x
x3+mx2m0,x{=1<0Δ=m20m=0
Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Bài 3.
Cho hàm số y=x32x2+(m1)x+m+3. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:             

 TXĐ: D = R.    y=3x24x+m1
Hàm số đồng biến trên R khi y0,x
3x24x+m10,x{=3>0Δ=3m+70m73
Vậy: Với m73 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Bài 4.
Cho hàm số y=x2(mx)mx+6. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến
Lời giải:         

TXĐ: D = R.  y=3x2+2mxm
Hàm số nghịch biến trên R khi y0,x
3x2+2mxm0,x{=3<0Δ=m23m00m3
Vậy: Với 0m3 thì điều kiện bài toán được thỏa

Bài 5.
Cho hàm số y=x33mx2+3(2m1)x+1. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:   

TXĐ: D = R  
y=3x26mx+3(2m1)
Hàm số đồng biến trên R khi y0,x
3x26mx+3(2m1)0,x{=1>0Δ=m22m+10m=1
Vậy: Với m = 1 thì điều kiện bài toán được thỏa

Bài 6.
Cho hàm số y=13x3+(m1)x2+(m+3)x+4. Tìm m để hàm số luôn luôn giảm
Lời giải:   

TXĐ: D = R.       y=x2+2(m1)x+m+3
Hàm số luôn luôn giảm khi y0,x
x2+2(m1)x+m+30,x{=1<0Δ=m2m+40(V.Ng)
Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán

Bài 7.
Cho hàm số y=x3mx2+3x1. Tìm m để hàm số luôn đồng biến
Lời giải:             

TXĐ: D = R
y=3x22mx+3
Hàm số đồng biến trên R khi y0,x
3x22mx+30,x{=3>0Δ=m2903m3
Vậy: Với 3m3 thì điều kiện bài toán được thỏa

Bài 8.
Cho hàm số y=13x3(m1)x2+2(m1)x2. Tìm m để hàm số luôn tăng trên R
Lời giải:   

TXĐ: D = R
y=x22(m1)x+2(m1)
Hàm số luôn tăng trên R khi y0,x
x22(m1)x+2(m1)0,x{=1>0Δ=(m1)(m3)01m3
Vậy: Với 1m3 thì điều kiện bài toán được thỏa

Bài 9.
Cho hàm số y=13x312(sinm+cosm)x2+34xsin2m. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
y=x2(sinm+cosm)x+34sin2m
Hàm số đồng biến trên R khi y0,x
x2(sinm+cosm)x+34sin2m0,x{=1>0Δ=12sinm012sinm0π6+k2π2mπ6+k2ππ12+kπmπ12+kπ

Bài 10.
Cho hàm số y=x3+mx2+2x+1. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:  

TXĐ: D = R
y=3x2+2mx+2
Hàm số đồng biến trên R khi y0,x
3x2+2mx+20,x{=3>0Δ=m2606m6
Vậy: Với 6m6 thì điều kiện bài toán được thỏa

Bài 11.
Cho hàm số y=mx3(2m1)x2+(m2)x2. Tìm m để hàm số luôn đồng biến
Lời giải:
TXĐ: D =R
y=3mx22(2m1)x+m2
Trường hợp 1:
m=0y=2x2 m = 0 không thỏa yêu càu bài toán
Trường hợp 2: m0
Hàm số đồng biến trên R khi y0,x
{=3m>0Δ=(2m1)23m(m2)0{>0m2+2m+10{>0m=1(V.Ng)
Vậy: Không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán

Bài 12.
Tìm m để hàm số y=m13x3+mx2+(3m2)x luôn đồng biến
Lời giải:  

TXĐ: D = R
y=(m1)x2+2mx+3m2
Trường hợp 1: m1=0m=1y=2x+1 m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m10m1
Hàm số luôn đồng biến khi y0,x
(m1)x2+2mx+3m20,x{1>0Δ=2m2+5m20m2
Vậy: Với m2 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Bài 13.
Cho hàm số y=13mx3+mx2x. Tìm m để hàm số đã cho luôn nghịch biến
Lời giải:     

TXĐ: D = R
y=mx2+2mx1
Trường hợp 1: m=0y=1<0 m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m0
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi y0,x
mx2+2mx10,x{=m<0Δ=m2m0{>00m1(V.Ng)
Vậy: Với  m = 0  thì yêu cầu bài toán được thỏa

Bài 14.
Định m để hàm số y=1m3x32(2m)x2+2(2m)x+5 luôn luôn giảm
Lời giải
TXĐ: D = R
y=(1m)x24(2m)x+42m
Trường hợp 1: m=1y=4x+20x12 nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m1
Hàm số luôn giảm khi {=1m<0Δ=2m210m+120{>12m32m3

Bài 15.
Cho hàm số y=m+23x3(m+2)x2+(m8)x+m21. Tìm m để dồ thị hàm số nghịch biến trên R
Lời giải:     
TXĐ: D = R
y=(m+2)x22(m+2)x+m8
Trường hợp 1: m+2=0m=2y=10 m = -2 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m2
Hàm số nghịch biến trên R khi y0,x
(m+2)x22(m+2)x+m80,x{=m+2<0Δ=(m+2)2(m+2)(m8)0m<2
KL: Với m < - 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Bài 16.
Cho hàm số y=13(m21)x3+(m+1)x2+3x+5. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
y=(m21)x2+2(m+1)x+3
Trường hợp 1: m21=0m=±1
* m=1y=4x+3 m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
* m=1y=3>0 m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m210m±1
Hàm số đồng biến trên R khi y0,x
(m21)x2+2(m+1)x+30{1>0Δ=2m2+2m+40m<1m>2
Vậy: Với m1m>2 thì bài toán được thỏa

Bài 17.
Cho hàm số y=13(m+3)x32x2+mx. Tìm m để hàm số:
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
y=(m+3)x24x+m
Trường hợp 1: m+3=0m=3y=4x3 m = -3 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m3.
a. Hàm số luôn đồng biến khi y0,x
(m+3)x24x+m0,x{=m+3>0Δ=m23m+40m1
b. Hàm số luôn nghịch biến khi y0,x
 (m+3)x24x+m0,x{=m+3<0Δ=m23m+40m4

Bài 18.
Cho hàm số y=13mx3(m1)x2+3(m2)x+13. Xác định giá trị m để hàm số đã cho nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
y=mx22(m1)x+3(m2)
Trường hợp 1: m=0y=2x6 m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: m0
Hàm số nghịch biến trên R khi y0,x
mx22(m1)x+3(m2)0,x{=m<0Δ=2m2+4m+10m262

Bài 19.
Cho hàm sốy=13(m2+2m)x3+mx2+2x+1. Xác định m để hàm số sau đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
Ta có: y=(m2+2m)x2+2mx+2
Xét 2 trường hợp:
* m2+2m=0[=0m=2
+ m = 0 y0,x nên m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
+ m = - 2 y=4x+20x12 nên m = -2 không thỏa điều kiện bài toán
m2+2m0[0m2
Hàm số đồng biến trên R khi {>0Δy0{+2m>0m24m0m4m0
Vậy với m4m0 thì điều kiện bài toán được thỏa

BIỆN LUẬN THAM SỐ ĐỂ ĐA THỨC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN

BIỆN LUẬN THAM SỐ ĐỂ ĐA THỨC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên D * Hàm số đồng biến trên (a,b)Dkhif(x)0,x(a,b) * Hàm số nghịch biến...