TỔ
HỢP, CHỈNH HỢP - CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG
I. LÝ THUYẾT
Chỉnh hợp:
Cho tập hợp A gồm n phần tử; n⩾1. Một chỉnh hợp chập k các
phần tử của A là một cách sắp xếp k phần tử khác nhau của A; 1⩽k⩽n;k∈N.
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử: Akn=n!(n−k)!
Hoán vị:
Cho tập hợp A gồm n phần tử; n>0. Một hoán vị n phần tử của A là
một chỉnh hợp chập n các phần tử của A (Hay một cách sắp xếp thứ tự các n
phần tử của A).
Số các hoán vị n phần tử của A: Pn=Ann=n!
Tổ hợp:
Cho tập hợp A gồm n phần tử; n>0. Một tổ hợp chập k các phần tử của
A là một tập hợp con của A có k phần tử ; 0⩽k⩽n;k∈N.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Ckn=n!k!.(n−k)!
Các
công thức quan trọng của Pn,Ckn,Akn
• Ckn=AknPk
• Ckn=Cn−kn
• Ckn=Ckn−1+Ck−1n−1
• k.Ckn=n.Ck−1n−1(1⩽k⩽n;k∈N;n∈N;n>1)
• k.(k−1).Ckn=n.(n−1).Ck−2n−2;∀k;n∈N;2⩽k⩽n
• k.(k−1)(k−2).Ckn=n.(n−1)(n−2).Ck−3n−3;∀k;n∈N;3⩽k⩽n
• 1k+1.Ckn=1n+1.Ck+1n+1(∀k∈N;0⩽k⩽n;n∈N∗
Nhị thức Newton
(a+b)n=C0n.an+C1n.an−1.b+C2n.an−2.b2+...
+Ckn.an−k.bk+...+Cnn.bn=n∑k=0Ckn.an−k.bk(∀n∈N∗)
Ta
cũng có thể khai triển:
(a+b)n=C0n.bn+C1n.bn−1.a+C2n.bn−2.a2+...
+Ckn.bn−k.ak+...+Cnn.an=n∑k=0Ckn.ak.bn−k (∀n∈N∗)
Một số đẳng thức rút ra từ nhị thức Newton:
C0n+C1n+.....+Ckn+.....+Cnn=2n∀n∈N∗
C0n−C1n+.....+(−1)k.Ckn+.....+(−1)n.Cnn=∀n∈N∗
(1+x)2n=2n∑k=0xk.Ck2n; (1−x)2n=2n∑k=0(−1)kxk.Ck2n
(1+x)2n+1=2n∑k=0xk.Ck2n+1; (1−x)2n+1=2n∑k=0(−1)kxk.Ck2n+1
II. BÀI TẬP
Phương pháp:
1. Quan sát biểu thức cần tính để đưa ra nhị thức Newton thích hợp.
2. Áp dụng các biến đổi tổ hợp, chỉnh hợp quen thuộc
3. Xác định công thức tổng quát và chứng minh
4. Sử dụng công cụ đạo hàm hoặc tích phân
Bài 1:
Rút gọn: Sk=C0n−C1n+C2n−C3n+...+(−1)kCkn;0⩽k⩽n;k∈N;n∈N∗
Hướng dẫn:
Nếu k<n thì ta có
Sk=C0n−(C0n−1+C1n−1)+(C1n−1+C2n−1)−(C2n−1+C3n−1)+...
+(−1)k(Ck−1n−1+Ckn−1);0⩽k⩽n;k∈N;n∈N∗
Rút gọn suy ra: Sk=(−1)k.Ckn−1
Nếu k=n thì Sk=C0n−C1n+C2n−C3n+...+(−1)nCnn=0
Bài 2:
Tính S = C14n+C34n+C44n+....+C2n−14n
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức Ckn=Cn−kn ta có:
C14n=C4n−14n;C34n=C4n−34n;....;C2n−14n=C2n+14n
Vì vậy S= C4n−14n+C4n−34n+....+C2n+14n
Suy ra
2S=C14n+C34n+C44n+....+C2n−14n+C2n+14n+.....+C4n−14n=24n−C04n−C4n4n
⇒S=24n−2
Bài 3:
Tính các tổng sau:
a. S2=C0n+2C1n+3C2n+...+(n+1)Cnn;n∈N;n>1
b. S3=C2n+2C3n+3C4n+...+(n−1)Cnn;n∈N∗;n⩾2
c. S4=n.2n−1.C0n+(n−1).2n−2.3.C1n+(n−2).2n−3.32.C2n+...+3n−1.Cn−1n;n∈N;n>1
d. S5=4.53.C02009+5.54.C12009+...+2013.52012.C20092009
Hướng dẫn:
a. S2=C0n+2C1n+3C2n+...+(n+1)Cnn;n∈N∗
⇒S2=n∑k=0(k+1).Ckn=0.C0n+n∑k=1k.Ckn+n∑k=0Ckn
⇒S2=n∑kn.Ck−1n−1+n∑k=0Ckn
S2=n.2n−1+2n⇒S2=(n+2).2n−1;∀n∈N;n>1
b. S3=C2n+2C3n+3C4n+...+(n−1)Cnn;n∈N∗;n⩾2
⇒S3=n∑k=2(k−1).Ckn=n∑k=2k.Ckn−n∑k=2Ckn
⇒S3=n∑k=1k.Ckn−C1n−n∑k=0Ckn+C0n+C1n
⇒S3=n∑k=1n.Ck−1n−1−C1n−n∑k=0Ckn+C0n+C1n
S3=n.2n−1−2n+1⇒S3=(n−2).2n−1+1;∀n∈N;n⩾2
c. S4=n.2n−1.C0n+(n−1).2n−2.3.C1n+(n−2).2n−3.32.C2n+...+3n−1.Cn−1n;n∈N∗
⇒S4=n−1∑k=0(n−k).2n−k−1.3k.Ckn=n−1∑k=02n−k−1.3k.(n−k).Cn−kn
⇒S4=n−1∑k=02n−k−1.3k.n.Cn−k−1n−1
S4=n(2n−1.30.Cn−1n−1+2n−2.32.Cn−2n−1+...+20.3n−1.C0n−1)⇒S4=n.(2+3)n−1⇒S4=n.5n−1;∀n∈N;n>1
d. S5=4.53.C02009+5.54.C12009+...+2013.52012.C20092009
S5=2009∑k=0(k+4).5k+3.Ck2009=2009∑k=0k.5k+3.Ck2009+2009∑k=04.5k+3.Ck2009⇒S5=2009∑k=05k+3.k.Ck2009+2009∑k=04.5k+3.Ck2009⇒S5=50+3.0.C02009+2009∑k=154.5k−1.2009.Ck−12008+2009∑k=04.53.5k.Ck2009⇒S5=2009.54.(50C02008+51C12008+...+52008C20082008)++4.53.(50C02009+51C12009+...+52009C20092009)⇒S5=2009.54.62008+4.53.62009⇒S5=10069.53.62008
Bài 4:
Tính S=C0n−2C1n+3C2n−...+(−1)n.(n+1)Cnn;n∈N
Hướng dẫn:
Ta sử dụng công cụ đạo hàm:
Xét đa thức f(x)=x(1+x)n= C0nx+C1nx2+C2nx3+...+Cnnxn+1;n∈N∗ D=R
Ta có \displaystyle{{f^'}(x) =}C0n+C1n.2x+C2n3x2+...+Cnn.(n+1)xn=(1+x)n+nx(1+x)n−1
\displaystyle{\Rightarrow {f^'}( - 1) =}\displaystyle{C_n^0 - 2C_n^1 + 3C_n^2 - ... + {( - 1)^n}.(n +
1)C_n^n = {f^'}( - 1) = 0}
Lưu
ý: Để tính các tổng
S1=C0n+2aC1n+3a2C2n+...+(n+1)anCnn;
S2=C02n+3a2C22n+5a4C42n+...+(2n+1)a2nC2n2n;
Ta xét đa thức f(x)=x(1+x)n và chứng tỏ rằng S1=f′(a);
Ta xét đa thức g(x)=x(1+x)2n và chứng tỏ rằng 2S2=g′(a)+g′(−a);2S3=g′(a)−g′(−a)
Bài 5:
Tính S=12C1n+22C2n+32C3n+...+n2Cnn.
Hướng dẫn:
Ta sử dụng công cụ đạo hàm:
(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+...+Cnnxn
Đạo hàm 2 vế ta được
n(1+x)n−1=C1n+C2n.2x+...+Cnn.nxn−1
Nhân 2 vế với x
nx(1+x)n−1=C1nx+C2n.2x2+...+Cnn.nxn
Đạo hàm 2 vế lần nữa ta được
n(1+x)n−1+n(n−1)x(1+x)n−2=C1n+C2n22x+...+Cnnn2xn−1
Thế x=1 ta được
n.2n−1+n(n−1)2n−2=S
Hay S=n(n+1)2n−2
Bài 6:
Tính S1=C0n+12.C1n+13.C2n+...+1n+1.Cnn;n∈N∗
Hướng dẫn:
Ta sử dụng công cụ tích phân:
Xét đa thức f(x)=(1+x)n=C0n+x.C1n+x2.C2n+...+xn.Cnn∀x∈R;n∈N∗
Suy ra: 1∫0f(x)dx=C0n+12.C1n+13.C2n+...+1n+1.Cnn=S1
⇒S1=(1+x)n+1n+1|10=2n+1−1n+1
Lưu
ý: Để tính các tổng
S=(b−a)C0n+b2−a22.C1n+b3−a33.C2n+...+bn+1−an+1n+1.Cnn;n∈N∗
Hãy chứng tỏ rằng S=b∫af(x)dx;f(x)=(1+x)n
Bài 7:
S=12C0n−13C1n+14C2n−...+(−1)n1n+2Cnn
Hướng dẫn:
1∫0x(1−x)ndx=1∫0[Cnox−C1nx2+C2nx3−...+Cnnxn+1]dx
Tính 1∫0x(1−x)ndx. Đặt u=1−x⇒du=−dx, {x=0⇒u=1x=1⇒u=0.
1∫0x(1−x)ndx=1∫0(1−u)undu=un+1n+1|10−un+2n+2|10
=1n+1−1n+2=1(n+1)(n+2)
\displaystyle{\begin{array}
\int\limits_0^1 {\left[ {C_n^0x - C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} - ... + {{( -
1)}^n}C_n^n{x^{n + 1}}} \right]} dx \\
= \left. {\left[ {C_n^0\frac{{{x^2}}}{2} - C_n^1\frac{{{x^3}}}{3}
+ C_n^2\frac{{{x^4}}}{4} - ... + {{( - 1)}^n}C_n^n\frac{{{x^{n + 2}}}}{{n +
2}}} \right]} \right|_0^1 \\
= \frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 - ... +
{( - 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n \\
= S \\
\end{array}}
Vậy S=1(n+1)(n+2)
Các phương pháp đạo hàm và tích phân trong tổ hợp sẽ được trình bày chi tiết ở
các chuyên đề:
- Sử dụng
công cụ đạo hàm trong giải toán tổ hợp
- Sử dụng
công cụ tích phân trong giải toán tổ hợp
BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1:
Tính tổng
a. S1=1.20.C1n+2.21.C2n+3.22.C3n+.....+n.2n−1.Cnn∀n∈N;n>1
b. S2=2.C22n+1+4.C42n+1+.....+2n.C2n2n+1
c. S3=2.C22n+4.C42n+.....+2n.C2n2n
Bài 2:
Cho a>0;n∈N∗. Hãy tính tổng
a. S1=1.2.C1n+1+3.4.a2.C2n+1+.....+(2n+1)(2n+2).a2n.Cn+1n+1
b. S2=C0n+2a.C1n+3a2.C2n+.....+(n+1)an.Cnn
c. S3=C02n+3a2.C22n+5a4.C42n+.....+(2n+1)a2n.C2n2n
d. S4=2a.C12n+4a3.C32n+6a5.C52n+.....+2n.a2n−1.C2n−12n
Bài 3:
Tính S=13C0n+14C1n+15C2n+...+1n+3Cnn
Bài 4:
Tính tổng S=1n+1C0n−1nC1n+1n−1C2n−...+(−1)nCnn
Bài 5:
Tính
S=2012.32011C02012−2011.32010C12012+2010.32009C22012−...+2.3C20102012−C20112012
Bài 6:
Tính tổng
a. S1=C0n+12.C1n+13.C2n+...+1n+1.Cnn;n∈N∗
b. S2=222.C1n+233.C2n+244.C3n+...+2n+1n+1.Cnn(n∈N;n>1)
c. S3=12.C12n+14.C32n+16.C52n+...+12n.C2n−12n(n∈N;n>1)
d. S4=2.C0n+32−12.C1n+33−13.C2n+34−14.C3n+...+3n+1−1n+1.Cnn(n∈N∗)
e. S5=20C0n−222.C1n+233.C2n−244.C3n+...+(−1)n2n+1n+1.Cnn(n∈N∗)
f. S6=b−a1C0n+b2−a22.C1n+b3−a33.C2n+...+bn+1−an+1n+1.Cnn(n∈N∗;a;b∈R)