Sổ tay cá nhân

GIỚI THIỆU
Nếu trong tổng dãy tổ hợp chứa hệ số là phân số $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},...$ ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Ta tính tích phân trong cả trường hợp chưa khai triển nhị thức Newton lẫn trong trường hợp đã khai triển. Hai kết quả bằng nhau. Sau đó thay $x, a, b$ bằng số phù hợp.

Ta sẽ tìm hiểu về phương pháp cơ bản (dùng tích phân hàm đa thức) và các phương pháp bổ sung:
1: Nhân thêm $x,{x^2},...$
2. Truy hồi tích phân
3. Dựa vào tích phân cho trước

PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC

Các đẳng thức tích phân cần nhớ:
 $\int\limits_a^b {{{(1 + x)}^n}} dx = \int\limits_a^b {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right)} dx$
$\Leftrightarrow \left. {\left[ {\frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_a^b = \left. {\left[ {C_n^0x + C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} + ... + C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_a^b$
$\int\limits_a^b {{{(1 - x)}^n}} dx = \int\limits_a^b {\left( {C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n{x^n}} \right)} dx$
$\Leftrightarrow \left. {\left[ { - \frac{{{{(1 - x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_a^b = \left. {\left[ {C_n^0x - C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_a^b$

$\int\limits_a^b {{{(x + 1)}^n}} dx = \int\limits_a^b {\left( {C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} + ... + C_n^n} \right)} dx$
$\Leftrightarrow \left. {\left[ {\frac{{{{(x + 1)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_a^b = \left. {\left[ {C_n^0\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C_n^1\frac{{{x^n}}}{n} + C_n^2\frac{{{x^{n - 1}}}}{{n - 1}} + ... + C_n^nx} \right]} \right|_a^b$

$\int\limits_a^b {{{(x - 1)}^n}} dx = \int\limits_a^b {\left( {C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n} \right)} dx$
$\Leftrightarrow \left. {\left[ {\frac{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_a^b = \left. {\left[ {C_n^0\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} - C_n^1\frac{{{x^n}}}{n} + C_n^2\frac{{{x^{n - 1}}}}{{n - 1}} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^nx} \right]} \right|_a^b$

Bài 1:
Tính $2C_n^0 + 4C_n^1 + \frac{{26}}{3}C_n^2 + ... + \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n$
Phân tích: tổng không đan dấu, có chứa phân số (dấu hiệu sử dụng tích phân), quan sát số hạng cuối có hệ số $\frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}$, ta biết cận từ 1 đến 3. Sử dụng $\int\limits_1^3 {{{(1 + x)}^n}} dx$.
Giải:
    $\int\limits_1^3 {{{(1 + x)}^n}} dx = \int\limits_1^3 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right)} dx$
$\Leftrightarrow \left. {\left[ {\frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_1^3 = \left. {\left[ {C_n^0x + C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} + ... + C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_1^3$
$\Leftrightarrow \left. {\left[ {\frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_1^3 = \left. {C_n^0x} \right|_1^3 + \left. {C_n^1\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^3 + \left. {C_n^2\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^3 + ... + \left. {C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_1^3$
$\Leftrightarrow \frac{{{4^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}} = 2C_n^0 + 4C_n^1 + \frac{{26}}{3}C_n^2 + ... + \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n$
Vậy $S = \frac{{{4^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}$
Lưu ý: khi tính giá trị tích phân có gắn tổ hợp ta nên tách riêng từng tổ hợp một như BT trên để tính thì kết quả nhanh hơn.

Bài 2:
Tính $S = C_n^0 + \frac{3}{2}C_n^1 + \frac{7}{3}C_n^2 + ... + \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n$
Hướng dẫn:
Như bài trên, từ hệ số $\frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}$ ta lấy cận từ 1 đến 2. Lưu ý: ${1^{n + 1}} = 1,{0^{n + 1}} = 0$ nên đối với các giá trị ${1^{n + 1}}$ đề sẽ ghi là 1 và ${0^{n + 1}}$ hay 0 thì không cần ghi, ta phải tự nhận biết.
Kết quả $\frac{{{3^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}$.

Bài 3:
Tính tổng $S = 2C_n^0 - \frac{1}{2} \cdot {2^2}C_n^1 + \frac{1}{3} \cdot {2^3}C_n^2 - ... + {( - 1)^n} \cdot \frac{1}{{n + 1}} \cdot {2^{n + 1}}C_n^n$
Phân tích: chuỗi đan dấu, hệ số phân số, $\frac{1}{{n + 1}}$ gắn với $C_n^n$, có dấu hiệu dùng tích phân, quan sát hệ số của số hạng cuối ta lấy cận từ 0 đến 2, tức là $\int\limits_0^2 {{{\left( {1 - x} \right)}^n}} dx$.
Giải:
 $\int\limits_0^2 {{{\left( {1 - x} \right)}^n}dx}  = \int\limits_0^2 {\left( {C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n{x^n}} \right)} dx$
$\Leftrightarrow \left. {\left[ { - \frac{{{{(1 - x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_0^2 = \left. {\left[ {C_n^0x - C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_0^2$
$\Leftrightarrow \frac{{1 - {{( - 1)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} = 2C_n^0 - \frac{1}{2} \cdot {2^2}C_n^1 + \frac{1}{3} \cdot {2^3}C_n^2 - ... + {( - 1)^n} \cdot \frac{1}{{n + 1}} \cdot {2^{n + 1}}C_n^n$
Vậy $S = \frac{{1 + {{( - 1)}^n}}}{{n + 1}}$

Bài 4:
Tính tổng $S = \frac{1}{{n + 1}}C_n^0 - \frac{1}{n}C_n^1 + \frac{1}{{n - 1}}C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$
Hướng dẫn:
chuỗi đan dấu, hệ số $\frac{1}{{n + 1}}$ gắn với $C_n^0$, có dấu hiệu sử dụng tích phân của ${(x - 1)^n}$, quan sát hệ số đầu ta lấy cận từ 0 đến 1. Kết quả $S = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1}}$.

PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP BỔ SUNG
1: Nhân thêm $x,{x^2},...$
Phương pháp:

Thông thường sau khi lấy tích phân hệ số chứa $\frac{1}{{k + 1}}C_n^k$. Nếu bài cho những hệ số dạng $\frac{1}{{k + 2}}C_n^k$ ta phải nhân thêm $x$trước khi tích phân, dạng $\frac{1}{{k + 3}}C_n^k$ ta nhân thêm ${x^2}$ trước khi tích phân,…

Bài 5:
Tính $S = \frac{1}{2}C_n^0 + \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 2}}C_n^n$.
Phân tích: tổng không đan dấu, độ chênh lệch so với dạng cơ bản là 1 nên ta nhân thêm $x$ trước khi tích phân.
Giải:
$\int\limits_0^1 {x{{(1 + x)}^n}} dx = \int\limits_0^1 {\left[ {C_n^0x + C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} + ... + C_n^n{x^{n + 1}}} \right]} dx$
$\begin{array}   \int\limits_0^1 {\left[ {C_n^0x + C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} + ... + C_n^n{x^{n + 1}}} \right]} dx \\= \left. {\left[ {C_n^0\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^1\frac{{{x^3}}}{3} + C_n^2\frac{{{x^4}}}{4} + ... + C_n^n\frac{{{x^{n + 2}}}}{{n + 2}}} \right]} \right|_0^1  \\ = \frac{1}{2}C_n^0 + \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 2}}C_n^n = S  \\ \end{array}$
$\int\limits_0^1 {x{{(1 + x)}^n}} dx = \int\limits_0^1 {\left[ {{{(1 + x)}^{n + 1}} - {{(1 + x)}^n}} \right]} dx = \left. {\left[ {\frac{{{{(1 + x)}^{n + 2}}}}{{n + 2}} - \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_0^1$
$= \frac{{{2^{n + 2}}}}{{n + 2}} - \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{{n{{.2}^{n + 1}} + 1}}{{(n + 1)(n + 2)}}$
Vậy $S = \frac{{n{{.2}^{n + 1}} + 1}}{{(n + 1)(n + 2)}}$

Bài 6:
$S = \frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 - ... + {( - 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n$
Phân tích: tương tự như bài trên nhưng ở đây chuỗi đan dấu.
Giải:
 $\int\limits_0^1 {x{{(1 - x)}^n}dx = \int\limits_0^1 {\left[ {C_o^nx - C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} - ... + C_n^n{x^{n + 1}}} \right]} } dx$
Tính $\int\limits_0^1 {x{{(1 - x)}^n}dx}$. Đặt $u = 1 - x \Rightarrow du =  - dx$, $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {x = 0 \Rightarrow u = 1} \\   {x = 1 \Rightarrow u = 0} \end{array}} \right.$.
$\int\limits_0^1 {x{{(1 - x)}^n}dx}  = \int\limits_0^1 {(1 - u){u^n}du = \left. {\frac{{{u^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|} _0^1 - \left. {\frac{{{u^{n + 2}}}}{{n + 2}}} \right|_0^1$
$= \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}$${I_n}$
$\begin{array}   \int\limits_0^1 {\left[ {C_n^0x - C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} - ... + {{( - 1)}^n}C_n^n{x^{n + 1}}} \right]} dx  \\ = \left. {\left[ {C_n^0\frac{{{x^2}}}{2} - C_n^1\frac{{{x^3}}}{3} + C_n^2\frac{{{x^4}}}{4} - ... + {{( - 1)}^n}C_n^n\frac{{{x^{n + 2}}}}{{n + 2}}} \right]} \right|_0^1  \\ = \frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 - ... + {( - 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n  \\ = S  \\ \end{array}$
Vậy $S = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}$

2. Truy hồi tích phân
Phương pháp:
Bước 1: Dùng tích phân từng phần để tính . Đưa ${I_n}$ về công thức truy hồi theo ${I_{n - 1}},{I_{n - 2}},...$ Truy hồi lần lượt để suy ra công thức tổng quát của ${I_n}$.
Bước 2: Dựa vào khai triển Newton để tính ${I_n}$.
Cho 2 kết quả bằng nhau.

Bài 7:
a) Tính ${I_n} = \int\limits_0^1 {{{(1 - {x^2})}^n}} dx$
b) Chứng minh rằng $1 - \frac{{C_n^1}}{3} + \frac{{C_n^2}}{5} - \frac{{C_n^3}}{7} + ... + \frac{{{{( - 1)}^n}C_n^n}}{{2n + 1}} = \frac{{2.4.6...(2n - 2).2n}}{{1.3.5...(2n + 1)}}$
Giải:
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {u = {{\left( {1 - {x^2}} \right)}^n}} \\   {dv = dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {du =  - 2nx{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^{n - 1}}dx} \\   {v = x} \end{array}} \right.$
${I_n} = \left. {\left[ {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^n}x} \right]} \right|_0^1 + 2n\int\limits_0^1 {{x^2}{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^{n - 1}}dx}  \\ = 2n\int\limits_0^1 {\left[ {(1 - (1 - {x^2})} \right]} {\left( {1 - {x^2}} \right)^{n - 1}}dx$
  $= 2n\int\limits_0^1 {\left[ {{{(1 - {x^2})}^{n - 1}} - {{(1 - {x^2})}^n}} \right]} dx = 2n\left[ {{I_{n - 1}} - {I_n}} \right]$
$\Rightarrow {I_n} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}{I_{n - 1}} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}.\frac{{2n - 2}}{{2n - 1}}{I_{n - 2}} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}.\frac{{2n - 2}}{{2n - 1}}...\frac{4}{5}.\frac{2}{3}{I_0}$
Mà ${I_0} = \int\limits_0^1 {dx = 1}$ nên ${I_n} = \frac{{2.4.6...(2n - 2).2n}}{{1.3.5...(2n + 1)}}$.
Mặt khác
$\begin{array} {I_n} = \int\limits_0^1 {{{(1 - {x^2})}^n}} dx = \int\limits_0^1 {\left[ {C_n^0 - C_n^1{x^2} + C_n^2{x^4} - ... + {{( - 1)}^n}C_n^n){x^{2n}}} \right]dx}   \\ = \left. {\left[ {C_n^0x - \frac{1}{3}C_n^1{x^3} + \frac{1}{5}C_n^2{x^5} - ... + {{( - 1)}^n}\frac{1}{{2n + 1}}C_n^n){x^{2n + 1}}} \right]} \right|_0^1  \\ = 1 - \frac{{C_n^1}}{3} + \frac{{C_n^2}}{5} - \frac{{C_n^3}}{7} + ... + \frac{{{{( - 1)}^n}C_n^n}}{{2n + 1}}  \\ \end{array}$
Vậy $1 - \frac{{C_n^1}}{3} + \frac{{C_n^2}}{5} - \frac{{C_n^3}}{7} + ... + \frac{{{{( - 1)}^n}C_n^n}}{{2n + 1}} = \frac{{2.4.6...(2n - 2).2n}}{{1.3.5...(2n + 1)}}$.

3. Dựa vào tích phân cho trước
Phương pháp:
Tính trực tiếp tích phân và tính tích phân sau khi khai triển Newton. Cho 2 kết quả bằng nhau.

Bài 8:
a) Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {x{{(1 - {x^2})}^n}} dx$
b) Chứng minh $\frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{4}C_n^1 + \frac{1}{6}C_n^2 - ... + \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2n}}C_n^n = \frac{1}{{2(n + 1)}}$
Hướng dẫn:

Đặt ẩn phụ $u = 1 - {x^2}$ để tính trực tiếp I.

Bài 9:
Cho $n \in {\mathbb{Z}^ + }$.
a)    Tính $I = \int\limits_0^1 {{x^2}{{(1 + {x^3})}^n}dx}$
b)    Chứng minh $\frac{1}{3}C_n^0 + \frac{1}{6}C_n^1 + \frac{1}{9}C_n^2 + ... + \frac{1}{{3n + 3}}C_n^n = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{3(n + 1)}}$
Hướng dẫn:

Đặt ẩn phụ $u = 1 + {x^3}$ để tính trực tiếp I.

BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1:
Tính $S = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n$
Hướng dẫn: Lấy cận từ 0 đến 1.

Bài 2:
Tính $S = 2C_n^0 + 2C_n^1 + \frac{8}{3}C_n^2 + ... + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n$
Kết quả: $\frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}$

Bài 3:
Tính tổng $S = C_n^0 - \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 - ... + {( - 1)^n} \cdot \frac{{C_n^n}}{{n + 1}}$
Hướng dẫn: Lấy cận từ 0 đến 1. Kết quả $S = \frac{1}{{n + 1}}$.

Bài 4:
Tính $S = \frac{1}{{n + 1}} \cdot {2^{n + 1}}C_n^0 - \frac{1}{n} \cdot {2^n}C_n^1 + \frac{1}{{n - 1}} \cdot {2^{n - 1}}C_n^2 - ... + {( - 1)^n} \cdot 2C_n^n$
Hướng dẫn: Lấy cận từ 0 đến 2.
Kết quả $S = \frac{{1 + {{( - 1)}^n}}}{{n + 1}}$.

Bài 5:
Tính $S = \frac{1}{3}C_n^0 + \frac{1}{4}C_n^1 + \frac{1}{5}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 3}}C_n^n$
Hướng dẫn: $\int\limits_0^1 {{x^2}{{(1 + x)}^n}} dx$

Bài 6:
Tính $S = \frac{1}{{n + 3}}C_n^0 - \frac{1}{{n + 2}}C_n^1 + \frac{1}{{n + 1}}C_n^2 - ... + {( - 1)^n}\frac{1}{3}C_n^n$
Hướng dẫn: Tính $\int\limits_0^1 {{x^2}{{(x - 1)}^n}} dx$

I. PHƯƠNG PHÁP
Bắt đầu từ những khai triển Newton:
a) ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + C_n^2.2x + ... + C_n^n.n{x^{n - 1}}  \\ \end{array}$

b) ${\left( {1 - x} \right)^n} = C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n{x^n}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n{x^n}} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow  - n{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}} =  - C_n^1 + C_n^2.2x - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n.n{x^{n - 1}}  \\ \end{array}$

c) ${\left( {x + 1} \right)^n} = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} + ... + C_n^{n - 1}x + C_n^n$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} + ... + C_n^{n - 1}x + C_n^n} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {x + 1} \right)^{n - 1}} = C_n^0n{x^{n - 1}} + C_n^1(n - 1){x^{n - 2}} + C_n^2\left( {n - 2} \right){x^{n - 3}} + ... + C_n^{n - 1}  \\ \end{array}$

d) ${\left( {x - 1} \right)^n} = C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}C_n^{n - 1}x + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}C_n^{n - 1}x + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {x - 1} \right)^{n - 1}} = C_n^0n{x^{n - 1}} - C_n^1(n - 1){x^{n - 2}} + C_n^2\left( {n - 2} \right){x^{n - 3}} - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}C_n^{n - 1}  \\ \end{array}$

Hoặc đạo hàm đến cấp 2:
$n(n - 1){\left( {1 + x} \right)^{n - 2}} = C_n^2.2.1 + C_n^3.3.2x + ... + C_n^nn(n - 1){x^{n - 2}}$
$n(n - 1){\left( {1 - x} \right)^{n - 2}} = C_n^2.2.1 - C_n^3.3.2x + C_n^4.4.3{x^2}... + {( - 1)^n}C_n^nn(n - 1){x^{n - 2}}$
$n(n - 1){\left( {x + 1} \right)^{n - 2}} = C_n^0n(n - 1){x^{n - 2}} + C_n^1(n - 1)(n - 2){x^{n - 3}} + ...C_n^{n - 3}.3.2x + C_n^{n - 2}.2.1$
$n(n - 1){(x - 1)^{n - 2}} = C_n^0n(n - 1){x^{n - 2}} - C_n^1(n - 1)(n - 2){x^{n - 3}} + ...$
                                                                $+ {( - 1)^{n - 3}}C_n^{n - 3}.3.2x + {( - 1)^{n - 2}}C_n^{n - 2}.2.1$

-  Tùy thuộc từng bài mà thế số mũ $n$, giá trị $x$ và một trong các công thức trên cho phù hợp.
-  Nếu mất những số hạng đầu ($C_n^0,C_n^1$) ta sử dụng các công thức chứa $\left( {1 + x} \right)$ nếu tổng không đan dấu, chứa $\left( {1 - x} \right)$ nếu tổng đan dấu. Nếu mất những số hạng sau $\left( {C_n^n,C_n^{n - 1}} \right)$ ta sử dụng các công thức chứa $\left( {x + 1} \right)$ nếu tổng không đan dấu, chứa $\left( {x - 1} \right)$ nếu tổng đan dấu.
-  Nếu mất một số hạng thì ta đạo hàm cấp 1, nếu mất 2 số hạng thì ta đạo hàm cấp 2.

Ta sẽ bàn phân tích kỹ cách áp dụng của phương pháp này trong từng bài toán cụ thể.

II. BÀI TẬP
Bài 1:
Chứng minh $\sum\limits_{k = 1}^n {{3^{k - 1}}.kC_n^k = n{{.4}^{n - 1}}}$
Phân tích: trong tổng có tổ hợp của $n$, mất $C_n^0$ và tổng không đan dấu nên ta sử dụng ${\left( {1 + x} \right)^n}$, đạo hàm cấp 1.
Giải:
Ta có:
     ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + C_n^2.2x + ... + C_n^n.n{x^{n - 1}}  \\ \end{array}$
Thế $x = 3$ ta được $n{.4^{n - 1}} = C_n^1 + C_n^2.2.3 + ...C_n^n.n{.3^{n - 1}} = \sum\limits_{k = 1}^n {k{{.3}^{k - 1}}C_n^k}$

Bài 2:
Chứng minh rằng $C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + ... + nC_n^n = n{.2^{n - 1}}$
Phân tích: trong tổng có tổ hợp của $n$, mất $C_n^0$ và tổng không đan dấu nên ta sử dụng ${\left( {1 + x} \right)^n}$, đạo hàm cấp 1.
Giải:
${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + C_n^2.2x + ... + C_n^n.n{x^{n - 1}}  \\ \end{array}$
Thay $x = 1$, ta có điều phải chứng minh.

Bài 3:
Chứng minh: $2.1C_n^2 + 3.2C_n^3 + 4.3C_n^4 + ... + n(n - 1)C_n^n = n(n - 1){.2^{n - 2}}$
Phân tích: trong tổng có tổ hợp của n, mất $C_n^0,C_n^1$ và tổng không đan dấu nên ta sử dụng ${\left( {1 + x} \right)^n}$, đạo hàm cấp 2.
Giải:
     ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^n}} \right]^\prime }^\prime  = {\left[ {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right]^\prime }^\prime   \\    \Rightarrow n(n - 1){\left( {1 + x} \right)^{n - 2}} = C_n^2.2.1 + C_n^3.3.2x + ... + C_n^nn(n - 1){x^{n - 2}}  \\ \end{array}$
Thay $x = 1$ vào đẳng thức cuối ta có điều phải chứng minh.

Bài 4:
Chứng minh $1C_n^1 - 2C_n^2 + 3C_n^3 - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}nC_n^n = 0$
Phân tích: trong tổng có tổ hợp của $n$, mất $C_n^0$ và tổng đan dấu nên ta sử dụng ${\left( {1 - x} \right)^n}$, đạo hàm cấp 1.
Giải:
    ${\left( {1 - x} \right)^n} = C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n{x^n}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n{x^n}} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow  - n{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}} =  - C_n^1 + C_n^2.2x - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n.n{x^{n - 1}}  \\ \end{array}$
Hay $C_n^1 - C_n^2.2x + C_n^3.3{x^2} - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}C_n^n.n{x^{n - 1}} = n{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}}$
Thay $x = 1$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 5:
Chứng minh $nC_n^0 - (n - 1)C_n^1 + (n - 2)C_n^2 - (n - 3)C_n^3 + ... + {( - 1)^{n - 1}}C_n^{n - 1} = 0$
Phân tích: trong tổng có tổ hợp của $n$, mất $C_n^n$ và tổng đan dấu nên ta sử dụng ${\left( {x - 1} \right)^n}$, đạo hàm cấp 1.
Giải:
     ${\left( {x - 1} \right)^n} = C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}C_n^{n - 1}x + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}C_n^{n - 1}x + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {x - 1} \right)^{n - 1}} = C_n^0n{x^{n - 1}} - C_n^1(n - 1){x^{n - 2}} + C_n^2\left( {n - 2} \right){x^{n - 3}} - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}C_n^{n - 1}  \\ \end{array}$
Thay $x = 1$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 6:
Chứng minh $n(n - 1){2^{n - 2}} = n(n - 1)C_n^0 + (n - 1)(n - 2)C_n^1 + ... + 2C_n^{n - 2}$.
Phân tích: trong tổng có tổ hợp của $n$, mất $C_n^{n - 1},C_n^n$ và tổng không đan dấu nên ta sử dụng ${\left( {x + 1} \right)^n}$, đạo hàm cấp 2.
Giải:
 ${\left( {x + 1} \right)^n} = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} + ... + C_n^{n - 1}x + C_n^n$
$\Rightarrow {\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^n}} \right]^{\prime \prime }} = {\left[ {C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} + ... + C_n^{n - 1}x + C_n^n} \right]^{\prime \prime }}$ hay
$n(n - 1){\left( {x + 1} \right)^{n - 2}} = C_n^0n(n - 1){x^{n - 2}} + C_n^1(n - 1)(n - 2){x^{n - 3}} + ...C_n^{n - 3}.3.2x + C_n^{n - 2}.2.1$
Thay $x = 1$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 7:
Tính $A = C_{12}^1 + 2C_{12}^2 + 3C_{12}^3 + ... + 12C_{12}^{12}$.
Phân tích: trong tổng có tổ hợp của 12, mất $C_{12}^0$ và tổng không đan dấu nên ta sử dụng ${\left( {1 + x} \right)^{12}}$.
Giải:
 ${\left( {1 + x} \right)^{12}} = C_{12}^0 + C_{12}^1x + C_{12}^2{x^2} + ... + C_{12}^{12}{x^{12}}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^{12}}} \right]^\prime } = {\left[ {C_{12}^0 + C_{12}^1x + C_{12}^2{x^2} + C_{12}^3{x^3} + ... + C_{12}^{12}{x^{12}}} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow 12{\left( {1 + x} \right)^{11}} = C_{12}^1 + 2C_{12}^2x + 3C_{12}^3{x^2}... + 12C_{12}^{12}{x^{11}}  \\ \end{array}$
Thay $x = 1$ ta được $A = {12.2^{11}}$.

Bài 8:
Chứng minh:
${( - 1)^{n - 1}}C_n^1 + {( - 1)^{n - 2}}.2.2C_n^2 + ... + {( - 1)^{n - k}}.k{.2^{k - 1}}C_n^k + ... + n{.2^{n - 1}}C_n^n = n$
Phân tích: do $- 1$ đi kèm với lũy thừa, giữa các số hạng là dấu $+$ nên ta xem như tổng không đan dấu, chứa tổ hợp của $n$, mất $C_n^0$. Ta sử dụng ${\left( { - 1 + x} \right)^n}$, đạo hàm cấp 1.
Giải:
${\left( { - 1 + x} \right)^n} = {( - 1)^n}C_n^0 + {( - 1)^{n - 1}}C_n^1x + {( - 1)^{n - 2}}C_n^2{x^2} + ... + {( - 1)^{n - k}}C_n^k{x^k} + ... + C_n^n{x^n}$
$\Rightarrow {\left[ {{{\left( { - 1 + x} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {{{( - 1)}^n}C_n^0 + {{( - 1)}^{n - 1}}C_n^1x + {{( - 1)}^{n - 2}}C_n^2{x^2} + ... + {{( - 1)}^{n - k}}C_n^k{x^k} + ... + C_n^n{x^n}} \right]^\prime }$
$\Rightarrow n{( - 1 + x)^{n - 1}} = {( - 1)^{n - 1}}C_n^1 + {( - 1)^{n - 2}}2C_n^2x + ... + {( - 1)^{n - k}}kC_n^k{x^{k - 1}} + ... + nC_n^n{x^{n - 1}}$
Thay $x = 2$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 9:
Chứng minh
$n{4^{n - 1}}C_n^0 - (n - 1){4^{n - 2}}C_n^1 + (n - 2){4^{n - 3}}C_n^2 - ... + {( - 1)^{n - 1}}C_n^{n - 1} = C_n^1 + 2.2C_n^2 + ...n{.2^{n - 1}}C_n^n$
Phân tích: vế trái chứa tổ hợp của $n$, đan dấu, mất $C_n^n$ nên ta sử dụng ${\left( {x - 1} \right)^n}$, đạo hàm cấp 1. Vế phải cũng chứa tổ hợp của $n$ nhưng không đan dấu, mất $C_n^0$ nên ta sử dụng ${\left( {1 + x} \right)^n}$, đạo hàm cấp 1.
Giải:
${\left( {x - 1} \right)^n} = C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}C_n^{n - 1}x + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}C_n^{n - 1}x + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {x - 1} \right)^{n - 1}} = C_n^0n{x^{n - 1}} - C_n^1(n - 1){x^{n - 2}} + C_n^2\left( {n - 2} \right){x^{n - 3}} - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}C_n^{n - 1}  \\ \end{array}$
Thay $x = 4$ ta được
$n{3^{n - 1}} = n{4^{n - 1}}C_n^0 - (n - 1){4^{n - 2}}C_n^1 + (n - 2){4^{n - 3}}C_n^2 - ... + {( - 1)^{n - 1}}C_n^{n - 1}$           (1)
${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + C_n^2.2x + ... + C_n^n.n{x^{n - 1}}  \\ \end{array}$
Thay $x = 2$ ta được $n{3^{n - 1}} = C_n^1 + 2.2C_n^2 + ...n{.2^{n - 1}}C_n^n$        (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Bài 10:
Chứng minh $C_n^0 + 2C_n^1 + 3C_n^2 + ... + (n + 1)C_n^n = (n + 2){2^{n - 1}}$
Phân tích: tổng chứa tổ hợp của $n$, không đan dấu, hệ số gắn với $C_n^n$ lớn nhất nên ta sử dụng ${(1 + x)^n}$.
Thông thường là $kC_n^k$ song ở đây lại là $(k + 1)C_n^k$, hệ số đầu chênh lệch hơn 1 đơn vị nên ta nhân thêm 2 vế với $x$.
Giải:
$x{\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0x + C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} + ... + C_n^n{x^{n + 1}}$
Đạo hàm 2 vế ta được
$(nx + x + 1){(1 + x)^{n - 1}} = C_n^0 + 2C_n^1x + 3C_n^2{x^2} + ... + (n + 1)C_n^n{x^n}$
Thế $x = 1$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 11:
Chứng minh $(n + 4){2^{n - 1}} = 2C_n^0 + 3C_n^1 + 4C_n^2 + ... + (n + 2)C_n^n$
Phân tích: tương tự như bài trên nhưng độ chênh lệch ở đây là 2 nên ta nhân thêm ${x^2}$ trước khi đạo hàm.
Giải:
${x^2}{(1 + x)^n} = C_n^0{x^2} + C_n^1{x^3} + C_n^2{x^4} + ... + C_n^n{x^{n + 2}}$
Đạo hàm 2 vế ta được
$2x{(1 + x)^n} + n{x^2}{(1 + x)^{n - 1}} = 2C_n^0x + 3C_n^1{x^2} + 4C_n^2{x^3} + ... + (n + 2)C_n^n{x^{n + 1}}$
Thay $x = 1$ ta được
      ${2^{n + 1}} + n{.2^{n - 1}} = 2C_n^0 + 3C_n^1 + 4C_n^2 + ... + (n + 2)C_n^n$
$\Leftrightarrow (n + 4){2^{n - 1}} = 2C_n^0 + 3C_n^1 + 4C_n^2 + ... + (n + 2)C_n^n$

Bài 12:
Với $n \in {\mathbb{Z}^ + }$, $n > 2$, chứng minh
$C_n^0 - 2C_n^1 + 3C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}(n + 1)C_n^n = 0$
Giải:
$x{\left( {1 - x} \right)^n} = C_n^0x - C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} - ...{( - 1)^n}C_n^n{x^{n + 1}}$
Đạo hàm 2 vế ta được
${(1 - x)^n} - nx{(1 - x)^{n - 1}} = C_n^0 - 2C_n^1x + 3C_n^2{x^2} - ... + {( - 1)^n}(n + 1)C_n^n{x^n}$
Thay $x = 1$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 13:
Với $n \in {\mathbb{Z}^ + }$, $n > 2$, chứng minh
$(n + 2)C_n^0 - (n + 1)C_n^1 + nC_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}2C_n^n = 0$
Giải:
${x^2}{(x - 1)^n} = C_n^0{x^{n + 2}} - C_n^1{x^{n + 1}} + C_n^2{x^n} - ... + {( - 1)^n}C_n^n{x^2}$
Đạo hàm 2 vế ta được
$2x{\left( {x - 1} \right)^n} + n{x^2}{\left( {x - 1} \right)^{n - 1}} = (n + 2)C_n^0{x^{n + 1}} - (n + 1)C_n^1{x^n} + nC_n^2{x^{n - 1}} - ... + {( - 1)^n}.2C_n^nx$
Thế $x = 1$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 14:
Tính $S = {1^2}C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {3^2}C_n^3 + ... + {n^2}C_n^n$.
Phân tích: tổng mất $C_n^0$, không đan đấu, $n$ gắn với $C_n^n$ nên ta sẽ sử dụng ${\left( {1 + x} \right)^n}$ đạo hàm. Sau đạo hàm các hệ số là $kC_n^k$, nhưng hệ số đề ra lại là ${k^2}C_n^k$, ta phải đạo hàm lần nữa nhưng lại không được mất $C_n^1$ nên ta nhân thêm 2 vế với $x$ trước khi đạo hàm.
Giải:
${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$
Đạo hàm 2 vế ta được
$n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + C_n^2.2x + ... + C_n^n.n{x^{n - 1}}$
Nhân 2 vế với $x$
$nx{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1x + C_n^2.2{x^2} + ... + C_n^n.n{x^n}$
Đạo hàm 2 vế lần nữa ta được
$n{(1 + x)^{n - 1}} + n(n - 1)x{(1 + x)^{n - 2}} = C_n^1 + C_n^2{2^2}x + ... + C_n^n{n^2}{x^{n - 1}}$
Thế $x = 1$ ta được
$n{.2^{n - 1}} + n(n - 1){2^{n - 2}} = S$
Hay $S = n(n + 1){2^{n - 2}}$

Bài tập tự giải:
Bài 1:
Tính tổng $S = C_{2012}^0 + 2C_{2012}^1 + 3C_{2012}^2 + ... + 2013C_{2012}^{2012}$
Bài 2:
Tính $S = 2012.2011C_{2012}^0 - 2011.2010C_{2012}^1 + 2010.2009C_{2012}^2 - ... + 2.1C_{2012}^{2010}$
Bài 3:
Tính
$S = {2012.3^{2011}}C_{2012}^0 - {2011.3^{2010}}C_{2012}^1 + {2010.3^{2009}}C_{2012}^2 - ... + 2.3C_{2012}^{2010} - C_{2012}^{2011}$
Bài 4:
Tính $S = {1^2}C_{2012}^1 + {2^2}C_{2012}^2 + ... + {2012^2}C_{2012}^{2012}$