ko tương lai

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

1.  PHƯƠNG PHÁP:
Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: $\left\{ \begin{array}   A \geqslant m  \\   B \leqslant m  \\ \end{array}  \right.$  nếu dấu bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại ${x_0}$  thì ${x_0}$  là nghiệm của phương trình $A = B$
Ta có : $\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  \leqslant 2$  Dấu bằng khi và chỉ khi $x = 0$ và $\sqrt {x + 1}  + \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} \geqslant 2$, dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: $\sqrt {1 - 2008x}  + \sqrt {1 + 2008x}  = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt {1 + x}$
Đôi khi một số phương trình được tạo ra  từ ý tưởng : $\left\{ \begin{array}   A \geqslant f\left( x \right)  \\   B \leqslant f(x)  \\ \end{array}  \right.$  khi đó :  
                                                      $A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   A = f\left( x \right)  \\   B = f\left( x \right)  \\ \end{array}  \right.$
Nếu ta đoán  trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng nếu nghiệm là vô tỉ việc không đoán nghiệm được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá nó.

Chú ý:
Khi giải phương trình vô tỷ bằng bất đẳng thức qua các phương trình hệ quả thì đến cuối bài toán phải thế nghiệm vào phương trình đầu để loại nghiệm ngoại lai.

Tóm tắt một vài bất đẳng thức cơ bản thường dùng để giải phương trình vô tỷ.
1. ${{\rm A}^{2n}} \geqslant 0, - {{\rm A}^{2n}} \leqslant 0\left( {n \in {{\rm N}^*}} \right)$ Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow$ A = 0
2. $\left| {{\rm A} = \left| { - {\rm A}} \right|} \right| \geqslant 0$ Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow$ A = 0
3. $\left| {\rm A} \right| \geqslant {\rm A}$. Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {\rm A} \geqslant 0$
4. Bất đẳng thức Côsi với n số không âm: Nếu a1; a2; …., an không âm thì   a1 + a2 + … + an $\geqslant n\sqrt[n]{{{a_1} + {a_2} + ...{a_n}}}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow$ a1 = a2 = … an
5. Bất đẳng thức BCS với 2 bộ số (a1; a2; …., an); (b1; b2; …., bn) ta có:
${\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ....{a_n}{b_n}} \right)^2} \leqslant \left( {a_1^2 + a_2^2 + ...a_n^2} \right).\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right)$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$. Quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng phải bằng 0.

VÍ DỤ
Bài 1.  
Giải phương trình:$\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt x  = \sqrt {x + 9}$
Giải:
Đk $x \geqslant 0$
Ta có : ${\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt x } \right)^2} \leqslant \left[ {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + x + 1} \right]\left[ {\frac{1}{{x + 1}} + {{\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)}^2}} \right] = x + 9$
Dấu bằng $\Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} \Leftrightarrow x = \frac{1}{7}$

Bài 2.  
Giải phương trình : $13\sqrt {{x^2} - {x^4}}  + 9\sqrt {{x^2} + {x^4}}  = 16$
Giải:
Đk: $- 1 \leqslant x \leqslant 1$
Biến đổi pt ta có : ${x^2}{\left( {13\sqrt {1 - {x^2}}  + 9\sqrt {1 + {x^2}} } \right)^2} = 256$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ${\left( {\sqrt {13} .\sqrt {13} .\sqrt {1 - {x^2}}  + 3.\sqrt 3 .\sqrt 3 \sqrt {1 + {x^2}} } \right)^2} \leqslant \left( {13 + 27} \right)\left( {13 - 13{x^2} + 3 + 3{x^2}} \right) = 40\left( {16 - 10{x^2}} \right)$Áp dụng bất đẳng thức Côsi: $10{x^2}\left( {16 - 10{x^2}} \right) \leqslant {\left( {\frac{{16}}{2}} \right)^2} = 64$
Dấu bằng $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   \sqrt {1 - {x^2}}  = \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{3}  \\   10{x^2} = 16 - 10{x^2}  \\ \end{array}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}   x = \frac{2}{{\sqrt 5 }}  \\   x =  - \frac{2}{{\sqrt 5 }}  \\ \end{array}  \right.$

BÀI TẬP:
Bài 1.
$\sqrt {x - 3}  + \sqrt {5 - x}  = {x^2} - 8x + 18$
ĐK: $x \leqslant x \leqslant 5$
Ta có: ${x^2} - 8x + 18 = {\left( {x - 4} \right)^2} + 2 \geqslant Z$
${\left( {\sqrt {x - 3}  + \sqrt {5 - x} } \right)^2} = (x - 3) + (5 - x) + 2\sqrt {(x - 3).(5 - x)}$
                 $= 2 + 2\sqrt {(x - 3).(5 - x)}  \leqslant 2 + (x - 3) + (5 - x) = 4$
$\Rightarrow \sqrt {x - 3}  + \sqrt {5 - x}  \leqslant Z$
Do đó $\sqrt {x - 3}  + \sqrt {5 - x}  = {x^2} - 8x + 18$
$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {\sqrt {x - 3}  + \sqrt {5 - x}  = 2} \\   {{x^2} - 8x + 18 = 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 4$
Vậy phương trình có nghiệm x = 4

Bài 2.
${x^2} + 2x + 4 = 3\sqrt {{x^3} + 4x}$
ĐK: $x \geqslant 0$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 2 số không âm: $4x;{x^2} + 4$ có
$\begin{array}   \sqrt {{x^3} + 4x}  = \frac{1}{2}\sqrt {4x({x^2} + 4)}  \leqslant \frac{1}{2}.\frac{{{x^2} + 4x + 4}}{2} = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{4}  \\    \Rightarrow \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{3} \leqslant \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{4} \Rightarrow {(x - 2)^2} \leqslant 0  \\ \end{array}$
Ta có: ${(x - 2)^2} \geqslant 0,\forall x$ nên $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Thử lại x = 2 là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2

Bài 3.
 ${x^2} + 4 = 2\sqrt {{x^4} + 4}  + 2\sqrt {{x^4} - 4} (*)$
Để giải bài toán này, đầu tiên ta cần chứng minh bài toán phụ
$a + b \leqslant \sqrt {2({a^2} + {b^2})}$ (I)
Dấu “ = ” xảy ra $\Leftrightarrow a = b \geqslant 0$
${x^4} + 4 \geqslant 2\sqrt {{x^2} - 4}$ (Bất Đẳng thức Côsi)
$\Leftrightarrow {x^4} + 4 \geqslant 4{x^2}(1)$
Áp dụng bài toán phụ
$\begin{array}   2\sqrt {{x^4} + 4}  + 2\sqrt {{x^4} - 4}  \leqslant \sqrt {2\left[ {4({x^4} + 4) + 4({x^4} - 4)} \right]}   \\    \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^4} + 4}  + 2\sqrt {{x^4} - 4}  \leqslant 4{x^2}(2)  \\ \end{array}$
(1), (2), (*) cho ta
$\begin{array}   {x^4} + 4 = 2\sqrt {{x^4} + 4}  + 2\sqrt {{x^4} - 4}  = 4{x^2}  \\    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {{x^4} = 4} \\   {2\sqrt {{x^4} + 4}  = 2\sqrt {{x^4} - 4} } \end{array}} \right. \Leftrightarrow x \in \varphi   \\ \end{array}$
Vậy phương trình vô nghiệm.
(I)    chứng minh bài toán phụ:
    $a + b \leqslant \left| {a + b} \right| = \sqrt {{{(a + b)}^2}}  \leqslant \sqrt {{{(a + b)}^2} + {{(a - b)}^2}}  = \sqrt {2{{(a + b)}^2}}$

Bài 5.
$\sqrt {{x^2} + x}  + \sqrt {x - {x^2}}  = x + 1$
ĐK:  $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {{x^2} + x \geqslant 0} \\   {x - {x^2} \geqslant 0} \end{array} \Leftrightarrow 0 \leqslant x \leqslant 1} \right.$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số $\sqrt {{x^2} + x} ;\sqrt {x - {x^2}}$ ta có:
$\sqrt {{x^2} + x}  + \sqrt {x - {x^2}}  = \sqrt {({x^2} + x).1}  + \sqrt {(x - {x^2})1}  \leqslant \frac{{{x^2} + x + 1}}{2} + \frac{{x - {x^2} + 1}}{2} = x + 1$
Dấu “=” xảy ra, do đó  $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {{x^2} + x = 1} \\   {x - {x^2} = 1} \end{array} \Leftrightarrow x = 0} \right.$
Thử lại x = 0 không là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6.
$- 16{x^4} + 72{x^3} - 81{x^2} + 28 - 16\left( {x - \sqrt {x - 2} } \right) = 0$
ĐK: x ≥ 2
Đặt $t = \sqrt {x - 2} ,t \geqslant 0$. Xét $f(t) = {t^2} - t + 2$ với $t \in \left[ {0; + \infty } \right)$
$\begin{array}   4f(t) = 4{t^2} - 4t + 8 = {(2t - 1)^2} + 7 \geqslant 7  \\    \Rightarrow f(t) \geqslant \frac{7}{4}  \\   f(t) = \frac{7}{4} \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \in \left[ {0; + \infty } \right)  \\ \end{array}$
Vậy: $x - \sqrt {x - 2}  = x - 2 - \sqrt {x - 2}  + 2 = {t^2} - t + 2 \geqslant \frac{7}{4}($với $t = \sqrt {x - 2} )$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt {x - 2}  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}$
Ta lại có: $\frac{{ - 16{x^4} + 72{x^3} - 81{x^2} + 28}}{{16}} = \frac{7}{4} - {\left( {x - \frac{9}{4}} \right)^2}{x^2} \leqslant \frac{7}{4}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{9}{4}$ hay $x = 0$
Vậy $- 16{x^4} + 72{x^3} - 81{x^2} + 28 - 16\left( {x - \sqrt {x - 2} } \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}$

Bài 7.
$\sqrt {{x^2} + 2{y^2} - 6x + 4y + 11}  + \sqrt {{x^3} + 3{y^2} + 2x + 6y + 4}  = 4$
Ta có:
    $\sqrt {{x^2} + 2{y^2} - 6x + 4y + 11}  + \sqrt {{x^2} + 3{y^2} + 2x + 6y + 4}$
  $\begin{array}    = \sqrt {\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {2{y^2} + 4y + 2} \right)}  + \sqrt {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 3\left( {{y^2} + 2y + 1} \right)}   \\    = \sqrt {{{(3 - x)}^2} + 2{{(y + 1)}^2}}  + \sqrt {{{(x + 1)}^2} + 3{{(y + 1)}^2}}   \\    \geqslant \sqrt {{{(3 - x)}^2}}  + \sqrt {{{(x + 1)}^2}}  = \left| {3 - x} \right| + \left| {x + 1} \right|  \\ \end{array}$
Áp dụng tính chất $\left| {\rm A} \right| \geqslant {\rm A}$. Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {\rm A} \geqslant 0$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {\left| {3 - x} \right| \geqslant 3 - x} \\   {\left| {x + 1} \right| \geqslant x + 1} \end{array} \Rightarrow } \right.\left| {3 - x} \right| + \left| {x + 1} \right| \geqslant 3 - x + x + 1 = 4$
Từ (1) suy ra:
$\sqrt {{x^2} + 2{y^2} - 6x + 4y + 11}  + \sqrt {{x^2} + 3{y^2} + 2x + 6y + 4}  \geqslant 4(2)$
Dấu đẳng thức xảy ra trong (2) khi và chỉ khi
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {y + 1 = 0} \\   {3 - x \geqslant 0} \\   {x + 1 \geqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {y =  - 1} \\   { - 1 \leqslant x \leqslant 3} \end{array}} \right.$
Vậy nghiệm của phương trình là
(x; y) = (x0; -1) với ${x_0} \in \left[ { - 1;3} \right]$

Bài 8.
$\sqrt[4]{{27{x^2} + 24x + \frac{{28}}{3}}} = 1 + \sqrt {\frac{{27}}{2}x + 6}$
Ta có:$\sqrt[4]{{27{x^2} + 24x + \frac{{28}}{3}}} = 1 + \sqrt {\frac{{27}}{3}x + 6}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt[4]{{\frac{{81{x^2} + 72x + 16}}{3} + 4}} = 1 + \sqrt {\frac{{3(9x + 4)}}{2}}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt[4]{{\frac{{{{(9x + 4)}^2}}}{3} + 4}} = 1 + \sqrt {\frac{{3{{(9x + 4)}^2}}}{2}} (1)$
ĐK: $9x + 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant  - \frac{9}{4}$
Đặt: $9x + 4 = y \geqslant 0$. Khi đó (1) trở thành :
$2\sqrt[4]{{\frac{{{y^2}}}{3} + 4}} = 1 + \sqrt {\frac{{3y}}{2}}$
$\Leftrightarrow 4\sqrt[4]{{\frac{{{y^2}}}{3} + 4}} = 1 + \frac{{3y}}{2} + \sqrt {6y}$
Sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
$\sqrt {6y}  \leqslant \frac{{6 + y}}{2}$
$\begin{array}    \Rightarrow 4\sqrt {\frac{{{y^2}}}{3} + 4}  \leqslant 2y + 4  \\    \Leftrightarrow 4(\frac{{{y^2}}}{3} + 4) \leqslant {(y + 2)^2}  \\    \Leftrightarrow \frac{{{{(y - 6)}^2}}}{3} \leqslant 0  \\ \end{array}$
Mà ${(y - 6)^2} \geqslant 0$ nên $y - 6 = 0 \Leftrightarrow y = 6 \Rightarrow x = \frac{{y - 4}}{9} = \frac{2}{9}$ (thoả điều kiện)
Thử lại $x = \frac{2}{9}$ là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{2}{9}$

Bài 9.
2$\sqrt {7{x^3} - 11{x^2} + 25x - 12}  = {x^2} + 6x - 1$
Ta có:
 $\begin{array}   2\sqrt {7{x^3} - 11{x^2} + 25x - 12}  = {x^2} + 6x - 1  \\    \Leftrightarrow 2\sqrt {(7x - 4)({x^2} - x + 3)}  = {x^2} + 6x - 1  \\ \end{array}$
Đk: $(7x - 4)({x^2} - x - 3) \geqslant 0$ vì(${x^2} - x = 3 = {(x - \frac{1}{2})^2} + \frac{{11}}{4} > 0)$
$\Leftrightarrow 7x - 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant \frac{4}{7}$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số âm $7x - 4,{x^2} - x + 3$
Ta có:
$(7x - 4) + ({x^2} - x + 3) \geqslant 2\sqrt {(7x - 4)({x^2} - x + 3)}$
$\Rightarrow {x^2} - 6x - 1 \geqslant 2\sqrt {7{x^3} - 11x + 25x - 12}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi :
$\begin{array}   7x - 4 = {x^2} - x + 3  \\    \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 7 = 0  \\    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {x = 1} \\   {x = 7} \end{array}} \right.  \\ \end{array}$ (thoả điều kiện)
Thử lại $x = 1;x = 7$ là nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1;x = 7$

Bài 10.
 $\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt x  = \sqrt {x + 9}$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 cặp: $2\sqrt 2 ;\sqrt {x + 1}$và $\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }};\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + 1} }}$
Ta có:
${(\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt x )^2} = {(2\sqrt 2 .\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} + \sqrt {x + 1} .\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + 1} }})^2} \leqslant (8 + x + 1)(\frac{1}{{x + 1}} + \frac{x}{{x + 1}}) = x + 9$
Do dấu: “=” xảy ra nên
$\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {x + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + 1} }} \Leftrightarrow x = \frac{1}{7}$ (thoã mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{1}{7}$

Bài 11.
$\sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x + 1}  - 4{x^2} + 4 = \frac{{32}}{{{x^2}\left( {2{x^2} + {3^2}} \right)}}$
Xét :$4{x^2} + \frac{{32}}{{{x^2}{{\left( {2{x^2} + 3} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\left[ {4{x^2} + \left( {2{x^2} + 3} \right) + \left( {2{x^2} + 3} \right) + \frac{{64}}{{{x^2}\left( {2{x^2} + 3} \right)}}} \right] - 3$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
$4{x^2} + \frac{{32}}{{{x^2}{{\left( {2{x^2} + 3} \right)}^2}}} \geqslant \frac{1}{2}\left( {\sqrt[4]{{4{x^2}.{{\left( {2{x^2} + 3} \right)}^2}.\frac{{64}}{{{x^2}{{\left( {2{x^2} + 3} \right)}^2}}}}}} \right) - 3 = \frac{1}{2}4\sqrt[4]{{6.64}} - 3 = 5$
Suy ra vế trái $= 4{x^2} + \frac{{32}}{{{x^2}{{\left( {2{x^2} + 3} \right)}^2}}} - 4 \geqslant 5 - 4 = 1$
Xét : $\begin{array}   \sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x + 1}  < 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x + 1}  < 1 + \sqrt {{x^2} - x + 1}   \\    \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 < 1 + {x^2} - x + 1 + 2\sqrt {{x^2} - x + 1}   \\    \Leftrightarrow 2x - 1 < 2\sqrt {{x^2} - x + 1}   \\ \end{array}$

Nếu $2x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2} \Rightarrow (1)$luôn đúng
Nếu $2x - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$
(1) $\Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 < 4({x^2} - x + 1) \Leftrightarrow 1 < 4$đúng
Vế trái < 1$\leqslant$ vế phải. Vậy phương trình vô nghiệm


  Bài 13.
$\sqrt[4]{{1 - {x^2}}} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} = 3$
ĐK:
$- 1 \leqslant x \leqslant 1$ áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
$\begin{array}   \sqrt[4]{{1 - {x^2}}} = \sqrt[4]{{(1 - x)(1 + x)}} = \sqrt {\sqrt {1 - x} .\sqrt {1 + x} }  \leqslant \frac{{\sqrt {1 - x}  + 1}}{2}  \\   \sqrt[4]{{1 - {x^2}}} = \sqrt {\sqrt {1 + x} .1}  \leqslant \frac{{\sqrt {1 + x}  + 1}}{2}  \\ \end{array}$
Cộng từng số bất đẳng thức cùng chiều ta có:
$\sqrt[4]{{1 - {x^2}}} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} \leqslant 1 + \sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x}$
Mặt khác, theo bất đẳng thức Côsi ta có:
$\begin{array}   \sqrt {1 - x}  = \sqrt {(1 - x)1}  \leqslant \frac{{(1 - x) + 1}}{2} = \frac{{2 - x}}{2}  \\   \sqrt {1 - x}  = \sqrt {(1 + x)1}  \leqslant \frac{{(1 + x) + 1}}{2} = \frac{{2 + x}}{2}  \\    \Rightarrow 1 + \sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x}  \leqslant 1 + \frac{{2 - x}}{2} + \frac{{2 + x}}{2} = 3  \\ \end{array}$
Vậy $\sqrt[4]{{1 - {x^2}}} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} \leqslant 3$
Do đó phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow$ dấu bất đẳng thức trong (1) xảy ra.
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {\sqrt {1 - x}  = \sqrt {1 + x} } \\   {1 - x = 1} \\   {1 + x = 1} \end{array} \Leftrightarrow x = 0} \right.$ (Thoả điều kiện)
Vậy phương trình đã cho nghiệm x = 0

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Hỏi 30-08-12 12:07 PM

Machiavelli
1 1 2 2