hoàn thành đoạn văn

Tạo bởi: yurika-yuki
Danh sách câu hỏi trong sổ
0
phiếu
0đáp án
123K lượt xem

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

 

Trong chuyên đề này ta sẽ hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử.

Ta sẽ tìm hiểu về các phương pháp sau:

1. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

2. Thêm, bớt cùng một hạng tử

3. Đặt ẩn phụ

4. Phương pháp hệ số bất định


I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
Định lí bổ sung:

+  Đa thức $f(x)$ có nghiệm hữu tỉ thì có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là ước của hệ số tự do, $q$ là ước dương của hệ số cao nhất
+  Nếu $f(x)$ có tổng các hệ số bằng 0 thì $f(x)$ có một nhân tử là $x – 1$
+  Nếu $f(x)$ có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì $f(x)$ có một nhân tử là $x + 1$
+  Nếu $a$ là nghiệm nguyên của $f(x)$ và $f(1); f(- 1)$ khác 0 thì $\frac{{{{f(1)}}}}{{{{a  -  1}}}}$ và $\frac{{{{f( - 1)}}}}{{{{a  +  1}}}}$ đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

Ví dụ 1:  $3x^2 – 8x + 4$
Hướng dẫn:

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
$3x^2 – 8x + 4 =  3x^2 – 6x  – 2x  + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)$
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
$3x^2 – 8x + 4 =  (4x^2 – 8x  + 4)  - x^2 = (2x – 2)^2 – x^2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) $
$= (x – 2)(3x – 2)$

Ví dụ 2:   $x^3 – x^2 – 4$

Hướng dẫn:
Ta nhận thấy nghiệm của $f(x)$ nếu có thì x = $ \pm 1; \pm 2; \pm 4$, chỉ có $f(2) = 0$ nên $x = 2 $ là nghiệm của $f(x)$ nên $f(x)$ có một nhân tử là $x – 2$. Do đó ta  tách $f(x)$ thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là $x – 2$
Cách 1:
$x^3 – x^2 – 4 =$ $\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right) + \left( {{x^2} - 2x} \right) + \left( {2x - 4} \right) $

$ = {x^2}\left( {x - 2} \right) + x(x - 2) + 2(x - 2)= \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right)$
Cách 2:

${x^3} - {x^2} - 4 = {x^3} - 8 - {x^2} + 4 $

$= \left( {{x^3} - 8} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right) = (x - 2)({x^2} + 2x + 4) - (x - 2)(x + 2)$
$=\left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - (x + 2)} \right] = (x - 2)({x^2} + x + 2)$

Ví dụ 3:  $f(x) =  3x^3 –  7x^2 + 17x – 5$

Hướng dẫn:
$ \pm 1, \pm 5$ không là nghiệm của $f(x)$, như vậy $f(x)$ không  có nghiệm nguyên. Nên $f(x)$ nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy $x =$ $\frac{1}{3}$ là nghiệm của $f(x)$ do đó $f(x)$ có một nhân tử là  $3x – 1$. Nên
$f(x) =  3x^3 –  7x^2 + 17x – 5 = 3{x^3} - {x^2} - 6{x^2} + 2x + 15x - 5 $

$= \left( {3{x^3} - {x^2}} \right) - \left( {6{x^2} - 2x} \right) + \left( {15x - 5} \right)$
= ${x^2}(3x - 1) - 2x(3x - 1) + 5(3x - 1) = (3x - 1)({x^2} - 2x + 5)$
Vì ${x^2} - 2x + 5 = ({x^2} - 2x + 1) + 4 = {(x - 1)^2} + 4 > 0$ với mọi $x$ nên không phân tích được thành nhân tử nữa

Ví dụ 4:  $x^3 + 5x^2 + 8x  + 4 $
Hướng dẫn:

Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là $x + 1$
$x^3 + 5x^2 + 8x  + 4 = (x^3 + x^2 ) + (4x^2 + 4x) + (4x + 4) $

$= x^2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)$
$= (x + 1)(x^2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)^2$

Ví dụ 5:  $f(x) = x^5 – 2x^4 + 3x^3 – 4x^2 + 2$
Hướng dẫn:

Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là $x – 1$, chia $f(x)$ cho $(x – 1)$ ta có:
$x^5 – 2x^4 + 3x^3 – 4x^2 + 2 = (x – 1)(x^4  - x^3  + 2 x^2   - 2 x  - 2)$
Vì $x^4  - x^3  + 2 x^2   - 2 x  - 2$  không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa

Ví dụ 6:  $ x^4 + 1997x^2 + 1996x + 1997 $

Hướng dẫn:

$ x^4 + 1997x^2 + 1996x + 1997 = (x^4 + x^2 + 1) + (1996x^2 + 1996x + 1996)$

$=  (x^2 + x  + 1)(x^2 - x  + 1) + 1996(x^2 + x  + 1)$
$=  (x^2 + x  + 1)(x^2 - x  + 1 + 1996) = (x^2 + x  + 1)(x^2 - x  + 1997)$

Ví dụ 7:  $x^2 -  x - 2001.2002 $

Hướng dẫn:

$x^2 -  x - 2001.2002 = x^2 -  x - 2001.(2001 + 1)$
$= x^2 -  x – 20012 - 2001 = (x^2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)$

II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:

Ví dụ 1: $4x^4 + 81 $

Hướng dẫn:
$4x^4 + 81 = 4x^4  + 36x^2 + 81 - 36x^2 = (2x^2 + 9)^2 – 36x^2 $

$= (2x^2 + 9)^2 – (6x)^2 = (2x^2 + 9 + 6x)(2x^2 + 9 – 6x) $
$= (2x^2 + 6x + 9 )(2x^2 – 6x + 9) $

Ví dụ 2: $x^8 + 98x^4 + 1 = $

Hướng dẫn:

$x^8 + 98x^4 + 1 = (x^8 + 2x^4 + 1 ) + 96x^4 $

$= (x^4 + 1)^2 + 16x^2(x^4 + 1) + 64x^4 - 16x^2(x^4 + 1) + 32x^4$
$= (x^4 + 1 + 8x^2)^2  – 16x^2(x^4 + 1 – 2x^2)$

$ = (x^4 + 8x^2  + 1)^2  - 16x^2(x^2 – 1)^2$
$= (x^4 + 8x^2  + 1)^2  - (4x^3 – 4x )^2 $
$= (x^4 + 4x^3 + 8x^2  – 4x + 1)(x^4 - 4x^3 + 8x^2  + 4x + 1)$

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 1: $x^7 + x^2 + 1$
Hướng dẫn:

$x^7 + x^2 + 1 = (x^7 – x)  + (x^2 + x + 1 ) $

$=  x(x^6 – 1) + (x^2 + x + 1 ) $

$=  x(x^3  - 1)(x^3 + 1) + (x^2 + x + 1 ) $

$= x(x – 1)(x^2 + x + 1 ) (x^3 + 1) + (x^2 + x + 1)$
$=  (x^2 + x + 1)[x(x – 1)(x^3 + 1) + 1]$

$ = (x^2 + x + 1)(x^5 –  x^4  +  x^2  - x + 1)$

Ví dụ 2: $x^7 + x^5 + 1$

Hướng dẫn:

$x^7 + x^5 + 1 = (x^7 – x ) + (x^5 – x^2 ) + (x^2  + x + 1) $
$= x(x^3 – 1)(x^3 + 1) + x^2(x^3 – 1) + (x^2  + x + 1) $
$= (x^2  + x + 1)(x – 1)(x^4 + x) + x^2 (x – 1)(x^2  + x + 1) + (x^2  + x + 1)$
$= (x^2  + x + 1)[(x^5 – x^4 + x^2 – x) + (x^3 – x^2 ) + 1] $

$= (x^2  + x + 1)(x^5 – x^4 + x^3 – x + 1) $

Ghi nhớ:
Các đa thức có dạng $x^{3m+1} + x^{3n+2} + 1$ như: $x^7 + x^2 + 1 ; x^7 + x^5 + 1 ; x^8 + x^4 + 1 ;x^5 + x + 1 ; x^8 + x + 1 ; …$ đều có nhân tử chung là  $x^2 + x + 1$

III. ĐẶT ẨN PHỤ:
Ví dụ 1:   $x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128$
Hướng dẫn:

 $x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128$

$ =  (x^2 + 10x) + (x^2 + 10x  + 24) + 128$
Đặt  $x^2 + 10x + 12 =  y$, đa thức có dạng:
$(y – 12)(y + 12) + 128 = y^2 – 144 + 128 $

$= y^2 – 16 = (y + 4)(y – 4)$
$=  ( x^2 + 10x + 8 )(x^2  + 10x  + 16 ) $

$=  (x + 2)(x + 8)( x^2 + 10x + 8 )$

Ví dụ 2:  $A = x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 6x + 1$
Hướng dẫn:

Giả sử $x \ne 0$ ta viết
$x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 6x + 1 =  x^2 ( x^2 + 6x + 7 – \frac{{{6}}}{{{x}}}{{  +  }}\frac{{{{1 }}}}{{{{{x}}^{{2}}}}}) $

$= x^2 [(x^2 + \frac{{{{1 }}}}{{{{{x}}^{{2}}}}}$$) + 6(x - $$\frac{{{{ 1 }}}}{{{x}}}) + 7 ]$
Đặt $ x - \frac{{{{ 1 }}}}{{{x}}} = y $ thì  $x^2 + \frac{{{{1 }}}}{{{{{x}}^{{2}}}}} = y^2 + 2$, do đó
$A = x^2(y^2 + 2 + 6y + 7) = x^2(y + 3)^2  =  (xy + 3x)^2  $
$= [x(x - $$\frac{{{{ 1 }}}}{{{x}}}$$)^2 + 3x]^2 = (x^2 + 3x – 1)^2$
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
$A = x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 6x + 1 = x^4 + (6x^3 – 2x^2 ) + (9x^2 – 6x + 1 )$
$ =  x^4 + 2x^2(3x – 1) + (3x – 1)^2   = (x^2 + 3x – 1)^2$

Ví dụ 3:   $ A = ({x^2} + {y^2} + {z^2}){(x + y + z)^2} + {(xy + yz{{ + zx)}}^{{2}}}$
Hướng dẫn:

$A = ({x^2} + {y^2} + {z^2}){(x + y + z)^2} + {(xy + yz{{ + zx)}}^{{2}}}$

$=\left[ {({x^2} + {y^2} + {z^2}) + 2(xy + yz{{ + zx)}}} \right]({x^2} + {y^2} + {z^2}) + {(xy + yz{{ + zx)}}^{{2}}}$
Đặt  ${x^2} + {y^2} + {z^2}$$ = a, xy + yz + zx = b$ ta có
$A =  a(a + 2b) + b^2 = a^2 + 2ab + b^2  = (a + b)^2  $

$ = ( {x^2} + {y^2} + {z^2}$$ + xy + yz + zx)^2$

Ví dụ 4:  $B = 2({x^4} + {y^4} + {z^4}) - {({x^2} + {y^2} + {z^2})^2} - 2({x^2}$

                                                           $+ {y^2} + {z^2}){(x + y + z)^2} + {(x + y + z)^4}$
Hướng dẫn:

Đặt  $x^4 + y^2 + z^2 = a,  x^2 + y^2  + z^2 = b, x + y + z = c$  ta có:
$B = 2a – b^2 – 2bc^2 + c^4 $

$= 2a – 2b^2  + b^2 - 2bc^2 + c^4 = 2(a – b^2) + (b –c^2)^2$
Ta lại có: $a – b^2 =  - 2({x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}$) và $b –c^2 = - 2(xy + yz + zx)$ Do đó:
$B = - 4({x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}) + 4 (xy + yz + zx)^2 $
$= - 4{x^2}{y^2} - 4{y^2}{z^2} - 4{z^2}{x^2} + 4{x^2}{y^2} + 4{y^2}{z^2} + 4{z^2}{x^2} + 8{x^2}yz + 8x{y^2}z + 8xy{z^2} $

$= 8xyz(x + y + z)$

Ví dụ 5:  ${(a + b + c)^3} - 4({a^3} + {b^3} + {c^3}) - 12abc$
Đặt $a + b = m, a – b = n$  thì $4ab = m^2 – n^2$
$ a^3 + b^3 = (a + b)[(a – b)^2 + ab] = m(n^2 + $$\frac{{{{{m}}^{{2}}}{{  -  }}{{{n}}^{{2}}}}}{{{4}}}$).

Ta có:
$C = (m + c)^3 – 4. $$\frac{{{{{m}}^{{3}}}{{  +  3m}}{{{n}}^{{2}}}}}{{{4}}} - 4{{{c}}^{{3}}} - 3{{c(}}{{{m}}^{{2}}}{{  -   }}{{{n}}^{{2}}})$

$= 3( - c^3 +mc^2 – mn^2 + cn^2)$
$= 3[c^2(m - c) - n^2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) $

$= 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)$

IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Ví dụ 1:  $x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 14x + 3$
Hướng dẫn:

Các số  $ \pm $1, $ \pm $3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ.
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
$(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd$
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:
$\left\{ \begin{array}
  a + c =  - 6  \\
  ac + b + d = 12  \\
  ad + bc =  - 14  \\
  bd = 3  \\
\end{array}  \right.$
Xét $bd = 3$ với  $b, d \in Z,b \in \left\{ { \pm 1, \pm 3} \right\}$
Với $b = 3$ thì $d = 1$ hệ điều kiện trên trở thành:
$\left\{ \begin{array}
  a + c =  - 6  \\
  ac =  - 8  \\
  a + 3c =  - 14  \\
  bd = 3  \\
\end{array}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  2c =  - 8  \\
  ac = 8  \\
\end{array}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  c =  - 4  \\
  a =  - 2  \\
\end{array}  \right.$
Vậy:  $x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 14x + 3 =  (x^2 - 2x + 3)(x^2 - 4x  + 1) $

Ví dụ 2:  $2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8$
Hướng dẫn:

Đa thức có 1 nghiệm là $x = 2$ nên có thừa số là  $x – 2$ do đó ta có:
$ 2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x^3 + ax^2 + bx + c) $
$=  2x^4 + (a - 4)x^3 + (b - 2a)x^2 + (c - 2b)x - 2c  $
$ \Rightarrow $ $\left\{ \begin{array}
  a - 4 = - 3  \\
  b - 2a = - 7  \\
  c - 2b = 6  \\
   - 2c = 8  \\
\end{array}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  a = 1  \\
  b = - 5  \\
  c = - 4  \\
\end{array}  \right.$
Suy ra:  $2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x^3 + x^2 - 5x  - 4) $
Ta lại có $2x^3 + x^2 - 5x  - 4$ là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nhau nên có 1 nhân tử là $x + 1$

Nên  $2x^3 + x^2 - 5x  - 4 = (x + 1)(2x^2  - x - 4)$
Vậy: $2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x^2  - x - 4)$

Ví dụ 3:   $12x^2 + 5x - 12y^2 + 12y - 10xy - 3$

Hướng dẫn:

$12x^2 + 5x - 12y^2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy  - 1)$
$=  acx^2  + (3c - a)x  + bdy^2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3 $
$ \Rightarrow $$\left\{ \begin{array}
  ac = 12  \\
  bc + ad =  - 10  \\
  3c - a = 5  \\
  bd =  - 12  \\
  3d - b = 12  \\
\end{array}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  a = 4  \\
  c = 3  \\
  b =  - 6  \\
  d = 2  \\
\end{array}  \right.$
$ \Rightarrow $ $12x^2 + 5x - 12y^2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y  - 1)$

Bài tập tự giải
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1)     $x^3 - 7x + 6$
2)     $x^3 - 9x^2 + 6x + 16$
3)     $x^3 - 6x^2 - x + 30$
4)     $2x^3 – x^2 + 5x + 3$
5)     $27x^3 - 27x^2 + 18x – 4$
6)     $x^2 + 2xy + y^2  - x - y – 12$
7)     $(x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) – 24$
8)     $4x^4 - 32x^2 + 1$
9)     $3(x^4 + x^2 + 1) - (x^2 + x + 1)^2 $
10)   $64x^4 + y^4$
11)   $a^6 + a^4 + a^2b^2 + b^4 – b^6$
12)   $x^3 + 3xy + y^3 – 1$
13)   $4x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1$
14)   $x^8 + x + 1$
15)   $x^8 + 3x^4 + 4 $
16)   $3x^2 + 22xy + 11x + 37y + 7y^2 +10$
17)   $x^4 - 8x + 63$

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Trong chuyên đề này ta sẽ hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử. Ta sẽ tìm hiểu về các phương pháp...