Bài toán  : Một con rùa chạy trên 1 đường băng bằng cao su dài 100 mét . Mỗi ngày nó chạy được 10 mét , rồi đêm nghỉ . Nhưng mỗi đêm đường băng lại dãn ra thêm 100 mét . Do đó sau đêm đầu nó đi được 20 mét , nhưng còn cách đích 180 mét
Cuối ngày thứ hai rùa đi được 30 mét tính từ điểm xuất phát , vậy nó còn cách đích 170 mét . Nhưng đêm đến thì đường băng lại dãn ra , dài đến 300 mét , và như thế xem như rùa đã đi được 45 mét , nhưng cách đích 255 mét .... Cứ như thế , cuộc đua diễn ra.

Vậy chú rùa có về đến đích không ?

Đáp án:

Gọi a là quãng đuờng con rùa đã đi; b = 100 là chiều dài quãng đường ban đầu. Ta có:
Ban đầu a = 0.
Sau ngày thứ 1 thì a = (a + 10) x (b + 100)/b = 20.
Sau ngày thứ 2 thì a = ((a + 10) x (b + 100)/b + 10) x (b + 200)/(b+100) = 45.
...
Với mọi số m, n, l dương và m > n, ta có: m/n > (m+l)/(n+l) (dễ dàng c/m) (1).
Theo (1), ta có: (b + 100)/b > (b + 200)/(b+100) > ... suy ra tỉ lệ gia tăng quãng đường rùa đi được a sau khi quãng đường được kéo dãn sẽ giảm hay nói cách khác, rùa mỗi lúc một cách xa đích! Như vậy, có thể kết luận rùa chằng bao giờ tới đích!

(nguồn: Sưu tầm mạng)