Sổ tay cá nhân

Chứng minh bất đẳng thức bằng Cauchy - Schwart (Nếu không thì dùng cách nào cũng được):
1. Cho $x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)\leq \frac{4}{3}$. Chứng minh $x+y+z\leq 4$.
2. Chứng minh: $a+b+c\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2c}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2a}+\frac{c^{2}+a^{2}}{2b}\leq \frac{a^{3}}{bc}+\frac{b^{3}}{ca}+\frac{c^{3}}{ab}$
3. Chứng minh: $\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}\geq \frac{2}{3}$
4. Chứng minh: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
5. Chứng minh: $\frac{a^{2}}{a+\sqrt{bc}}+\frac{b^{2}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{c^{2}}{c+\sqrt{ab}}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)$
6. Chứng minh: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

$\left\{ \begin{array}{l} x^{2}-2xy+3y^{2}=9\\ 2x^{2}-13xy+15y^{2}=0 \end{array} \right.$

1)cho a,b,c > 0 

$\left\{ \begin{array}{l} 2x^{2}+2xy+y^{2}=2\\ x^{2}+2xy+3y^{2}=9 \end{array} \right.$

$\begin{cases}x^{3}+4y=y^{3}+16x \\ 1+y^{2}=5(1+x^{2}) \end{cases}$

Chứng minh BĐT:

CHo $a>0 , b>0 , c>0$ chứng minh

cho $a,b,c>0$ thoả $abc=1$. CM
$1+ \frac{3}{a+b+c} \geq  \frac{6}{ab+bc+ac}$

Cho $abc=$$\frac{9}{4}$

so sánh 2 số $a=\frac{9}{\sqrt{11}-\sqrt{2}}$

CHo $x+y=1$ CMR: $x^4+y^4\geq \frac{1}{8}$

$\left\{ \begin{array}{l}x^{4} +5y=6\\ x^{2}y^{2}+5x=6 \end{array} \right.$

cho $x,y,z > 0$ tìm giá trị nhỏ nhất?
$P=\sqrt[3]{4(x^{3}+y^{3})}+\sqrt[3]{4(x^{3}+z^{3})}+\sqrt[3]{4(z^{3}+y^{3})}+2(\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{z^{2}}+\frac{z}{x^{2}})$

1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
2. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{4}(a+b)}+\frac{1}{b^{4}(b+c)}+\frac{1}{c^{4}(c+a)}\geq \frac{3}{2}$ (Trong đó a, b, c là ba số dương thoả mãn điều kiện abc = 1)
3. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
$\frac{x}{y+z}+\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\frac{y}{z+x}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\frac{z}{x+y}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>3$

$\begin{cases}2\sqrt{x+y^2+y+3}-3\sqrt y=\sqrt{x+2} \\ y^3+y^2-3y-5=3x-3\sqrt[3]{x+2}\end{cases}$

Không yêu cầu giải gì hết.... Nhưng với các BĐT bạn biết như cosi, bunhi, trebusep, nestbit...v.v... Hãy đặt ra một bài toán đố hay, đặc trưng cho một loại BĐT... VD như BĐT cosi.. Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất... Ở đây bạn có thể lấy bài toàn CM........

\begin{cases} x^{4}-4x^{2}+y^{2}-6y+9 =0            (1)\\ x^{2}y+x^{2}+2y-22=0                             (2)\end{cases}

Chứng minh:  $\frac{a}{b+c} +\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}  \geq  \frac{3}{2} $
          

Cho $x,y,z >0 $ thỏa mãn $x+y+z=3$ . Chứng minh rằng  $ \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \ge xy+yz+xz $

Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^2+x^2y-xy^2+xy-y=1\\x^4+y^2-xy(2x-1)=1\end{cases}$

Hệ trục toạ độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có $A(-1, 7), B(4; -3), C(-4;1)$. Tìm toạ độ điểm M sao cho biểu thức $P=MA^2+2MB^2+3MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất ?

Tính $\log_616$, biết rằng $\log_{12}27 = a$

Cho a và b là hai số thực thỏa mãn $0<a<b<1.$
Chứng minh rằng $a^2\ln b-b^2\ln a>\ln a-\ln b.$

Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sin^2\alpha .\cos^2\alpha } =\tan^2\alpha +\cot^2\alpha +2$

Cho $A(-1;3), B(4;2), C(3;5)$
a) Chứng minh $A, B, C$ không thẳng hàng.
b) Tìm điểm $D$ sao cho $\overrightarrow{AD}=- \overrightarrow{BC}$.
c) Tìm điểm $E$ sao cho $O$ là trọng tâm tam giác $ABE$.

Với $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(ab + bc + ca = abc\), chứng minh rằng
                                       \(\frac{{\sqrt {{b^2} + 2{a^2}} }}{{ab}} + \frac{{\sqrt {{c^2} + 2{b^2}} }}{{bc}} + \frac{{\sqrt {{a^2} + 2{c^2}} }}{{ca}} \ge \sqrt 3\)

Giải hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4\\
{x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 4
\end{array} \right.\)

Cho \(
x,y
\) dương . Chứng minh: \(
\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}
\)