Sổ tay cá nhân

Cho hai số thực dương $x,\,y$ thỏa $x+y=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=\dfrac{x}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{y}{\sqrt{x^2+1}}$$

Cho $a,b >0$. CMR:$\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)} +\sqrt{b(3b+a)}} \geq  \frac{1}{2}$

cho  a; b ; c thỏa mãn điều kiện $a+b+c=2013\sqrt{17}$

Giải phương trình: $$\sin x\left(\sqrt{2}\sin2x+\sqrt{2}+1\right)=\sin5x-\sqrt{2}\sin x\cos2x$$

Tìm GTNN với a,b,c>0  :$Q=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}$

CMR : $\frac{(a+b)^2}{2}+\frac{a+b}{4}  \geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$

cho $a,b,c>0$

1) Chứng minh rằng với mọi $n\in N^*$, ta có:

 cho $a,b,c$la do dai $3$ canh cua $\triangle  ABC$ 

1. chứng minh các số sau là số chính phương

Cho tứ diện $ABCD$, Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của  $AB$ và $CD$, trên cạnh $BC$ lấy $E$ sao cho $BE= 2EC$.

$\left\{ \begin{array}{l} 3x^{2}-4xy+2y^{2}=17\\ x^{2}-y^{2}=-16 \end{array} \right.$

$9^x+3^{x+1}-4=0$

$\frac{1}{1!2013!}$ + $\frac{1}{3!2011!}$ + $\frac{1}{5!1999!}$ +. . .+ $\frac{1}{1012!1012!}$ + $\frac{1}{1013!1011!}$ + . . . + $\frac{1}{2013!1!}$

Cho x, y, z $\in$ [0;1]

$\begin{cases}x^{5} + y^5=1 \\ x^9 + y^9=x^4 + y^4\end{cases}$

Cho $x,\,y,\,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=6$ và $x^2+y^2+z^2=14.$ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: $$P=\dfrac{4x+y}{z}$$

1,Co bao nhieu so tu nhien gom $4$  chu so sao cho khong co chu so nao lap lai dung $3$  lan.

$\begin{cases}\frac{1}{2x}+\frac{x}{y}=\frac{3x+3\sqrt{y}}{4x^{2}+2y} \\ 4x+y=\sqrt{2x+6}-2\sqrt{y} \end{cases}$

ĐẠI SỐ TỔ HỢP:
Tìm tất cả số nguyên dưowng n có tính chất sau: Có thể chia tập hợp 6 số:
$n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5$
thành 2 tập hợp, sao cho tích tất cả các số của tập hợp này bằng tích tất cả các số của tập hợp kia

Giai he phuong trinh:$\left\{ \begin{array}{l} x^2-3x+2+2\sqrt{x^2y+2y}=0\\ \sqrt{x^2+4x-y+1}+\sqrt[3]{2x-1}=1 \end{array} \right.$

1) Cho $a,b,c,d$  là các số dương chứng minh rằng:

1) CMR:

$$\begin{cases}x=y^3 +y^2+y-2\\ y=z^3+z^2+z-2\\z=x^3+x^2+x-2 \end{cases}$$

Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=6$
Chứng minh rằng : $8^x+8^y+8^z\geq 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}$

Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $19p+8$ là lập phương của một số tự nhiên

Bài $15$: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số với:
a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?
b) Chữ số đầu và cuối khác nhau?
c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau?
* chú ý giải chi tiết ở câu b,c hộ em nhé

Bài $8$: Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết rằng chỉ có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo $132$ sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh).

$\sqrt{1+999^{2}+\frac{999^{2}}{1000^{2}}} + \frac{999}{1000}$

Cho a,b,c>0. Tìm max $P= \frac{4}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4} }-\frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)} }$

Cho x,y>0 t/m $xy\leq y-1$
Tìm max P= $\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}-xy+3y^{2}}}-\frac{x-2y}{6(x+y)}$

Bài 18: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số đó bằng 18?

b) Hỏi có bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đó?

* chỉ giùm em cách tính tổng nhé.

Bài 17: Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9. Hỏi:
a) Có bao nhiêu biển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số đôi một khác nhau?
b) Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác nhau và có đúng 2 chữ số lẻ giống nhau?

Chứng minh :$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2005}} > 2\times(\sqrt{2006} - 1$

Cho x,y>0; x+y=1
Tìm max, min
$T= \frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}$

cho a,b,c là ba số thực không âm và thoả mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} =1$.
tìm max $M= (a+b+c)^{3} - (a+b+c) + 6abc$

CM: $\left| {8x^{4}-8x^{2}+1}\right| \leq 1$ với mọi $a\in  \left[ {-1;1} \right]$

cho pt: $x^{3} + x^{2} + ax + b = 0$ có 3 ngiệm thực p.biệt.
CM: $a^{2} - 3b >0$

1) $sin2x+ \sqrt{3}cosx=\sqrt{3}.$

1, $\cos ^{4}x+ \sin ^{4} (x+\frac{\pi }{4})= \sin 2x.\cos 2x- \frac{5}{4}\tan (x+\frac{\pi }{4}).\tan (x-\frac{\pi }{4})$

Tìm $m$ để đồ thị của $y=x^4-\left(m^2+10\right)x^2+9$ cắt $Ox$ tại bốn điểm có các hoành độ $x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4$ sao cho $\left|x_1\right|+|x_2|+|x_3|+|x_4|=8.$

Giải phương trình: $$\cot x+\sin x=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}+\dfrac{1}{\sin x}$$

a) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
$y= \sqrt{x - 2008} + \sqrt{2009 - x}$
b) Chứng minh: $7.5x^{2n} + 12.6x^{n}$ chia hết cho $19$ với $\forall x\in \mathbb N.$

Giải phương trình:
$\frac{11}{x^{2}}-\frac{25}{\left ( x+5 \right )^{2}}=1$

Cm với mọi $a,b\in R$ ta đều có $\frac{\left| {a+b} \right|}{1+\left| {a+b} \right|} \leq  \frac{\left| {a} \right|}{1+\left| {a} \right|} + \frac{\left| {b} \right|}{1+\left| {b} \right|}$

Cho $x,\,y,\,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{2y+z+x}+\dfrac{z}{2z+x+y}\leq\dfrac{3}{4}$$

cho $a,b,c$ duong ,chung minh:

Cho $a,\,b,\,c,\,d>0$ thỏa $a+b+c+d=1.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{a}{1+b^2c}+\dfrac{b}{1+c^2d}+\dfrac{c}{1+d^2a}+\dfrac{d}{1+a^2b}\geq2$$