Sổ tay cá nhân

Cho tam giác ABC nhọn và đường phân giác trong AD. CMR: $AD\geq \frac{1}{2}\sqrt{4AB.AC-BC^2}$

Trên mặt phẳng cho 2013 điểm màu đỏ và 2014 điểm màu xanh, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta chia mặt phẳng bởi các đường thẳng (không đi qua bất kì điểm nào trong các điểm đã cho) thành các vùng, sao cho không có bất kì vùng nào chứa các điểm có hai màu khác nhau. Hỏi cần ít nhất là bao nhiêu đường thẳng để luôn thực hiện được cách chia đó ?

Cho $a+b=1$ CMR: $a^3+b^3\geq \frac{1}{4}$

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Chứng minh:

Cho x+y=1. CMR $x^4+y^4\geq 1/8$

Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nội tiếp đường tròn bán kính $R=1$

CMR Nếu $x\geq y\geq z>0$ thì $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq x^2+y^2+z^2$

Chứng minh $x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$
$1<x<2$

CMR  : $a+\frac{1}{b(a-b)} \ge 3$ với $a \ge b.$

Cho $x,y\geq \sqrt{2}$

Nhận dạng tam giác ABC biết rằng $2(\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}-\sqrt{3})=\frac{sinC}{sinBsinA}$

CM tam giác ABC đều khi thỏa mãn hệ thức sau:

1) Với A,B,C là 3 góc của tam giác CMR:

Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng

1.Gọi x,y,z lần lượt là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của $\Delta ABC$ nhọn đến các cạnh $BC,CA,AB$.

cho x, y, z$>$0 thỏa x+y+z=3.
Tìm GTNN của P=$\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}$

cho x,y,z,t$>$0 thỏa $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}=2.$
Tìm GTNN của P=$\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{z^{3}}{z^{2}+t^{2}}+\frac{t^{3}}{t^{2}+x^{2}}$

Cho $a,b,c,d>0$ và $a+b+c+d=4$ . CMR:
$\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\geqslant 2$ 

Cho x ; y ; z  $\epsilon$  $\left[ {0;1} \right]$ .
Tim GTLN cua bieu thuc:
P=$\sqrt{xyz}$ + $\sqrt{(1-x)(1-y)(1-z)}$

Chứng minh $\forall n\in\mathbb{N^*}$ và $\forall x\in\mathbb{R}$ sao cho $\sin2^nx\neq0,$ ta luôn có: $$\dfrac{1}{\sin2x}+\dfrac{1}{\sin4x}+...+\dfrac{1}{\sin2^nx}=\cot x-\cot2^nx.$$

$10$ người câu 10 con cá trong $5$ phút. Hỏi $50$ người câu $50$ con cá trong bao lâu?

1. Cho $x,\,y,\,z>0$ và $xyz=1.$ Chứng minh rằng: $\dfrac{x^2}{1+y}+\dfrac{y^2}{1+z}+\dfrac{z^2}{1+x}\geq\dfrac{3}{2}$

2. Cho $x,\,y,\,z>0$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=4.$ Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\leq1$

$\left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt{x^2 - 2x + 2} = 3^{y-1} +1\\ y +\sqrt{y^2 - 2y +2} = 3^{x-1} +1\end{array} \right.$
hình như cái này là hệ đối xứng loại II. mà mình nghĩ mãi k ra :(

a) Cho $x,y\in [0;1]$. Chứng minh rằng  $2\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}\leq 2(x-1)(y-1)+1$
b) $\frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}+\frac{b^4+c^4}{b^2+c^2}+\frac{c^4+a^4}{c^2+a^2}\ge\ a+b+c$
c) $a, b \ge 0$.CM
$\frac{{(a + b)^2 }}{2} + \frac{{a + b}}{4} \ge a\sqrt b  + b\sqrt a$
d) $x\not= 0, y \not= 0$. CM
$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4 \ge 3 \left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )$ 
e)
$\sum |b+c-a| \ge \max\left\{ {\sum|a| , \sum|b-c|} \right\}$
f)$x,y,z  >0$ thỏa mãn   $x+y+z=1$ .CM
$\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+yz}\geq \frac{1}{2}$
g) $a,b,c >0,$   $ab+bc+ca=1$ .CM
$\sum \frac{x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3}{2}$
h) $(n+1)^{n+1} \le 4n^{n+1}$ 

Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b\).

Cho \(a\geq b\geq c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\).

Chứng minh: $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}  \forall n \in Z^+$