Sổ tay cá nhân

Nhận dạng tam giác ABC biết rằng $2(\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}-\sqrt{3})=\frac{sinC}{sinBsinA}$

CM tam giác ABC đều khi thỏa mãn hệ thức sau:

1) Với A,B,C là 3 góc của tam giác CMR:

Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng

1.Gọi x,y,z lần lượt là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của $\Delta ABC$ nhọn đến các cạnh $BC,CA,AB$.

cho x, y, z$>$0 thỏa x+y+z=3.
Tìm GTNN của P=$\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}$

cho x,y,z,t$>$0 thỏa $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}=2.$
Tìm GTNN của P=$\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{z^{3}}{z^{2}+t^{2}}+\frac{t^{3}}{t^{2}+x^{2}}$

Cho $a,b,c,d>0$ và $a+b+c+d=4$ . CMR:
$\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\geqslant 2$ 

Cho x ; y ; z  $\epsilon$  $\left[ {0;1} \right]$ .
Tim GTLN cua bieu thuc:
P=$\sqrt{xyz} $ + $\sqrt{(1-x)(1-y)(1-z)}$

Chứng minh $\forall n\in\mathbb{N^*}$ và $\forall x\in\mathbb{R}$ sao cho $\sin2^nx\neq0,$ ta luôn có: $$\dfrac{1}{\sin2x}+\dfrac{1}{\sin4x}+...+\dfrac{1}{\sin2^nx}=\cot x-\cot2^nx.$$

$10$ người câu 10 con cá trong $5$ phút. Hỏi $50$ người câu $50$ con cá trong bao lâu?

1. Cho $x,\,y,\,z>0$ và $xyz=1.$ Chứng minh rằng: $\dfrac{x^2}{1+y}+\dfrac{y^2}{1+z}+\dfrac{z^2}{1+x}\geq\dfrac{3}{2}$

2. Cho $x,\,y,\,z>0$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=4.$ Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\leq1$

$ \left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt{x^2 - 2x + 2} = 3^{y-1} +1\\ y +\sqrt{y^2 - 2y +2} = 3^{x-1} +1\end{array} \right. $
hình như cái này là hệ đối xứng loại II. mà mình nghĩ mãi k ra :(

a) Cho $x,y\in [0;1]$. Chứng minh rằng  $2\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}\leq 2(x-1)(y-1)+1$
b) $ \frac{a^4+b^4}{a^2+b^2}+\frac{b^4+c^4}{b^2+c^2}+\frac{c^4+a^4}{c^2+a^2}\ge\ a+b+c $
c) $a, b \ge 0$.CM
$\frac{{(a + b)^2 }}{2} + \frac{{a + b}}{4} \ge a\sqrt b  + b\sqrt a $
d) $x\not= 0, y \not= 0$. CM
$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4 \ge 3 \left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )$ 
e)
$\sum |b+c-a| \ge \max\left\{ {\sum|a| , \sum|b-c|} \right\} $
f)$ x,y,z  >0$ thỏa mãn   $ x+y+z=1 $ .CM
$  \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+yz}\geq \frac{1}{2}  $
g) $ a,b,c >0,$   $ ab+bc+ca=1  $ .CM
$ \sum \frac{x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3}{2}   $
h) $(n+1)^{n+1} \le 4n^{n+1}$ 

Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b\).

Cho \(a\geq b\geq c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\).

Chứng minh: $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}  \forall n \in Z^+  $