Sổ tay cá nhân

Khái niệm:
Hệ phương trình không mẫu mực là hệ phương trình không có cấu trúc (dạng) cụ thể, do đó cũng không có cách giải tổng quát. Phải tùy vào từng hệ phương trình mà có cách giải phù hợp.

Một số cách giải cơ bản:
1.    Phương pháp thế,
1.    Phương pháp đặt ẩn số phụ,
2.    Phương pháp cộng,
3.    Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số,
4.    Phương pháp dùng bất đẳng thức,
5.    Phương pháp đánh giá,
6.    Phương pháp đưa về hệ phương trình cùng bậc (đẳng cấp).
Sau đây là một số ví dụ cụ thể cho các phương pháp:

1. Phương pháp thế:
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}   6{x^2} - 3xy + x + y = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)  \\   {x^2} + {y^2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)  \\ \end{array}  \right.$
Giải
Ta biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo ẩn x:
$6{x^2} + \left( {1 - 3y} \right)x + y - 1 = 0$
Ta tính biệt số delta của phương trình trên:
$\Delta  = {\left( {1 - 3y} \right)^2} - 24\left( {y - 1} \right) = {\left( {3y - 5} \right)^2}$
Ta tìm dược nghiệm là $x = \frac{{y - 1}}{2}\,\,\,\, \vee \,\,\,x = \frac{1}{3}$
Thế $x = \frac{1}{3}$      vào (2) $\Rightarrow y =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$
Thế $x = \frac{{y - 1}}{2}$ vào (2) $\Rightarrow \left[ \begin{array} y =  - \frac{3}{4}\,\,\, \Rightarrow x =  - \frac{4}{5}  \\ y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow x = 0  \\ \end{array}  \right.$
Vậy nghiệm của hệ là: $\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right),\,\,\left( { - \frac{3}{4}; - \frac{4}{5}} \right),\,\,\left( {\frac{1}{3};\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right),\,\,\left( {\frac{1}{3}; - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)$

Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}   {x^2}\left( {y + 1} \right)\left( {x + y + 1} \right) = 3{x^2} - 4x + 1\,\,\,\,\left( 1 \right)  \\   xy + x + 1 = {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)  \\ \end{array}  \right.\,\,$
Giải
Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn phương trình (2).
Với x ≠ 0, từ (2) ta có $y + 1 = \frac{{{x^2} - 1}}{x}$. Thay vào (1) ta được:
$\begin{array}   \,\,\,\,\,\,\,{x^2}\frac{{{x^2} - 1}}{x}\left( {x + \frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right) = 3{x^2} - 4x + 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2{x^2} - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right)  \\    \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} + 2{x^2} - x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right)  \\    \Leftrightarrow 2x\left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\, \vee \,\,x =  - 2\,\,\left( {{\text{do}}\,x \ne 0} \right)  \\ \end{array}$
–Với $x = 1 \Rightarrow y =  - 1$,     –Với $x =  - 2 \Rightarrow y = \frac{5}{2}$
Vậy hệ có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( { - 2;\frac{5}{2}} \right)$

Ví dụ 3:
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}   2{x^2} + x + {y^2} = 7\,\,\,\,\left( 1 \right)  \\   xy - x + y = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)  \\ \end{array}  \right.\,\,\,$
Giải
Từ $\left( 2 \right) \Rightarrow y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\,\,\left( {x \ne  - 1} \right)$, thay vào (1) ta được:
$\begin{array}   \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2{x^4} + 5{x^3} - 2{x^2} - 7x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} + 3x - 1} \right) = 0  \\    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}   x = 1  \\   x =  - 2  \\   x = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4}  \\   x = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4}  \\ \end{array}  \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}   x = 1  \\   y = 2  \\ \end{array}  \right. \vee \left\{ \begin{array}   x =  - 2  \\   y =  - 1  \\ \end{array}  \right. \vee \left\{ \begin{array}   x = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4}  \\   y = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}  \\ \end{array}  \right. \vee \left\{ \begin{array}   x = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4}  \\   y = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{2}  \\ \end{array}  \right.  \\ \end{array}$
$S = \left\{ {\left( {1;2} \right),\left( { - 2; - 1} \right),\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4};\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right),\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4};\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right)} \right\}$

Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình sau:
$\begin{array}   \left. a \right)\left\{ \begin{array}   xy - 3x - x - 2y = 16  \\   {x^2} + {y^2} - 2x - 3y = 33  \\ \end{array}  \right.\,\,\,\,\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,b} \right)\left\{ \begin{array}   {x^2} - xy + {y^2} = 3  \\   2{x^3} - 9{y^3} = \left( {x - y} \right)\left( {2xy + 3} \right)  \\ \end{array}  \right.  \\   \left. c \right)\left\{ \begin{array}   xy + 3{y^2} - x + 4y = 7  \\   2xy + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0  \\ \end{array}  \right.\,\,\,\,\left. {\,\,d} \right)\left\{ \begin{array}   4{x^2} - 9{y^2} = 0  \\   {x^2} + {y^2} = 4x + 3y  \\ \end{array}  \right.  \\ \end{array}$

2. Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Ví dụ 4:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}   {x^2} + 1 + y\left( {x + y} \right) = 4y\,\,\,\,  \\   \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + y - 2} \right) = y\,\,\,\,\,\,\,\,  \\ \end{array}  \right.\,\left( {\text{I}} \right)$
Giải
Dễ thấy y = 0 không thỏa hệ (I), nên ta có:
$\left( {\text{I}} \right)\left\{ \begin{array}   \frac{{{x^2} + 1}}{y} + x + y = 4\,\,\,  \\   \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{y}} \right)\left( {x + y - 2} \right) = 1\,\,\,\,\,\,\,\,  \\ \end{array}  \right.$
Đặt $u = \frac{{{x^2} + 1}}{y},\,\,\,v = x + y - 2$, ta có:  $\left\{ \begin{array}   u + v = 2  \\   uv = 1\,\,\,\,  \\ \end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   u = 1  \\   v = 1  \\ \end{array}  \right.$
Khi đó, suy ra: $\left\{ \begin{array}   \frac{{{x^2} + 1}}{y} = 1  \\   x + y - 2 = 1  \\ \end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   y = {x^2} + 1  \\   y + x = 3  \\ \end{array}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}   x = 1\,\,\,\,\,\, \Rightarrow y = 2  \\   x =  - 2\,\, \Rightarrow y = 5  \\ \end{array}  \right.$
Vậy nghiệm của hệ là: $\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right),\left( { - 2;5} \right)$.

Ví dụ 5:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}   4xy + 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{3}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = 7  \\   2x + \frac{1}{{x + y}} = 3  \\ \end{array}  \right.\,\,\,\,\,\left( {{\text{II}}} \right)\,\,\,\,$
Giải
Điều kiện: x + y ≠ 0. Khi đó:
$\left( {{\text{II}}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   3{\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x - y} \right)^2} + \frac{3}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = 7  \\   x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 3  \\ \end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,$
Đặt  $u = x + y + \frac{1}{{x + y}}$ (điều kiện: $\left| u \right| \geqslant 2$),$\,\,\,\,v = x - y$
$\left( {{\text{II}}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}   3{u^2} + {v^2} = 13  \\   u + v = 3  \\ \end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   v = 3 - u  \\   3{u^2} + {\left( {3 - u} \right)^2} = 13  \\ \end{array}  \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}   u = 2 \Rightarrow v = 1  \\   u =  - \frac{1}{2}\, \\ \end{array}  \right.$
Suy ra:       $\left\{ \begin{array}   x + y + \frac{1}{{x + y}} = 2  \\   x - y = 1  \\ \end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   x = 1  \\   y = 0  \\ \end{array}  \right.$
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right)$

Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình sau:
$\begin{array}   a)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {2{x^2}{y^2} + {x^2} + 2x = 2} \\   {2{x^2}y - {x^2}{y^2} + 2xy = 1} \end{array}\;{\text{                   b)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {x + y + xy = 5} \\   {{{(x + 1)}^3} + {{(y + 1)}^3} = 35} \end{array}} \right.} \right.  \\   c)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {{x^2} + {y^2} + x + y = 4} \\   {x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2} \end{array}{\text{              d)}}} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {\sqrt {2x + y + 1}  - \sqrt {x + y}  = 1} \\   {3x + 2y = 4} \end{array}} \right.  \\ \end{array}$

3. Phương pháp cộng:
Ví dụ 6:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}   \sqrt {x + 1}  + \sqrt {y - 1}  = 4  \\   \sqrt {x + 6}  + \sqrt {y + 4}  = 6  \\ \end{array}  \right.$
Giải
Điều kiện: $x \geqslant  - 1,\,\,\,y \geqslant 1$
Cộng và trừ vế theo vế của hai phương trình, ta có:
$\left\{ \begin{array}   \sqrt {x + 6}  + \sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 4}  + \sqrt {y - 1}  = 4  \\   \sqrt {x + 6}  - \sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 4}  - \sqrt {y - 1}  = 6  \\ \end{array}  \right.\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Đặt     $u = \sqrt {x + 6}  + \sqrt {x + 1}  \Rightarrow \sqrt {x + 6}  - \sqrt {x + 1}  = \frac{5}{u}$
$v = \sqrt {y + 4}  + \sqrt {y - 1}  \Rightarrow \sqrt {y + 4}  - \sqrt {y - 1}  = \frac{5}{v}$
Khi đó hệ (*) trở thành
$\left\{ \begin{array}   u + v = 10  \\   \frac{5}{u} + \frac{5}{v} = 2  \\ \end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   u = 5  \\   v = 5  \\ \end{array}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}   \sqrt {x + 6}  + \sqrt {x + 1}  = 5  \\   \sqrt {y + 4}  + \sqrt {y - 1}  = 5  \\ \end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   x = 3  \\   y = 4  \\ \end{array}  \right.$
Vậy nghiệm của hệ là $\left( {x;y} \right) = \left( {3;4} \right)$


Ví dụ 7:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}   \sqrt {{x^2} + 91}  = \sqrt {y - 2}  + {y^2}\,\,\,\,\left( 1 \right)  \\   \sqrt {{y^2} + 91}  = \sqrt {x + 2}  + {x^2}\,\,\,\,\left( 2 \right)  \\ \end{array}  \right.$
Giải
Điều kiện: $x,y > 2$
Lấy (1) trừ (2) ta được:
$\begin{array}   \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} + 91}  - \sqrt {{y^2} + 91}  = \sqrt {y - 2}  - \sqrt {x + 2}  + {y^2} - {x^2}  \\    \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + \sqrt {{y^2} + 91} }} = \frac{{y - x}}{{\sqrt {y - 2}  + \sqrt {x + 2} }} + {y^2} - {x^2}  \\    \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\underbrace {\left( {\frac{{x + y}}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + \sqrt {{y^2} + 91} }} + \frac{1}{{\sqrt {y - 2}  + \sqrt {x + 2} }} + x + y} \right)}_{ > \,0\forall \,x,y\,\, > \,\,2} = 0  \\    \Leftrightarrow \,x = y  \\ \end{array}$
Thế $x = y$ vào phương trình (1), ta có:
$\begin{array}   \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} + 91}  = \sqrt {x - 2}  + {x^2} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 91}  - 10 = \sqrt {x - 2}  - 1 + {x^2} - 9  \\    \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + 20}} = \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 2}  + 1}} + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)  \\    \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\underbrace {\left[ {\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + 10}} - 1} \right) - \frac{1}{{\sqrt {x - 2}  + 1}}} \right]}_{ > \,0\forall \,x,y\,\, > \,\,2\,} = 0  \\    \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow y = 3  \\ \end{array}$
Vậy hệ có mộ nghiệm duy nhất: $\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)$

Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình sau:
$\begin{array}   a)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {x + y + xy = 1{\text{              }}} \\   {{x^2} + {y^2} + 3(x + y) = 28} \end{array}\;{\text{               b)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {\sqrt {x + \frac{1}{y}}  + \sqrt {x + y - 3}  = 3} \\   {2x + y + \frac{1}{y} = 5} \end{array}} \right.} \right.  \\   b)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {{x^2} + y + {x^3}y + x{y^2} + xy = \frac{{ - 5}}{4}} \\   {{x^4} + {y^2} + xy(1 + 2x) = \frac{{ - 5}}{4}} \end{array}} \right.{\text{        c)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {2 + 6y = \frac{x}{y} - \sqrt {x - 2y} } \\   {\sqrt {x - \sqrt {x - 2y} }  = x + 3y - 2} \end{array}} \right.  \\ \end{array}$

4.  Phương pháp dùng bất đẳng thức:
Ví dụ 8:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}   \sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 1}  + \sqrt {z + 1}  = 6  \\   x + y + z = 9  \\ \end{array}  \right.$
Giải
Điều kiện: $x,y,z \geqslant  - 1$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:
${\left( {1.\sqrt {x + 1}  + 1.\sqrt {y + 1}  + 1.\sqrt {z + 1} } \right)^2} \leqslant 3\left( {x + y + z} \right) = 36$
Suy ra: $\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 1}  + \sqrt {z + 1}  \leqslant 6$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z = 3$ thỏa mản phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất $\left( {x;y;z} \right) = \left( {3;3;3} \right)$

Ví dụ 9:
Giải hệ phương trình sau:    $\left\{ \begin{array}   \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} = y  \\   \frac{{3{y^3}}}{{{y^4} + {y^2} + 1}} = z  \\   \frac{{4{z^4}}}{{{z^6} + {z^4} + {z^2} + 1}} = x  \\ \end{array}  \right.$
Giải
Vì $\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} = y \geqslant 0$nên xảy ra hai trường hợp sau:
    Với y = 0, khi đó x = y = z = 0v
Vậy $\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;0} \right)$ là một nghiệm của hệ phương trình.
    Với yv > 0, khi đó x > 0, z > 0.
Dễ thấy ${x^2} + 1 \geqslant 2{x^2}$ nên $\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} \leqslant x\,\,{\text{hay}}\,\,y \leqslant x$.
Theo BĐT Cauchy, ta có:
${y^4} + {y^2} + 1 \geqslant 3\sqrt[3]{{{y^4}.{y^2}.1}} = 3{y^2} \Rightarrow \frac{{3{y^2}}}{{{y^4} + {y^2} + 1}} \leqslant y\,\,{\text{hay}}\,\,z \leqslant y$
Từ phương trình thứ 3 của hệ suy ra $x \leqslant z$. Vậy $x \leqslant y \leqslant z \leqslant x$, điều này xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z$.
Thay vào phương trình đầu ta được $x = y = z = 1$  (thoả)
Vậy nghiệm của hệ là $\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;0} \right)\left( {1;1;1} \right)$

Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình sau:
$\left. a \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {(x - 1)\sqrt y  + (y - 1)\sqrt x  = \sqrt {2xy} } \\   {x\sqrt {y - 1}  + y\sqrt {x - 1}  = xy} \end{array}} \right.{\text{ }}\left. \\b \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}   {\sqrt {4x + 1}  + \sqrt {4y + 1}  + \sqrt {4z + 1}  = 9} \\   {x + y + z = 6{\text{                              }}} \end{array}} \right.$