Sổ tay cá nhân

Tạo bởi: ha-hoa
Danh sách câu hỏi trong sổ
5
phiếu
0đáp án
338 lượt xem

Cho $a,b,c>0$ chứng minh rằng:
$\sum_{}^{} \sqrt[8]{\frac{a^8+b^8}{2}}\leq \sum_{}^{}\frac{a^2}{b}$.
(Lặp lại 3 lần có sự tham gia của $c$)
Cái Bất đẳng thức đòi hỏi sự kiên trì éo thể chịu được :))

Cho $a,b,c>0$ chứng minh rằng:$\sum_{}^{} \sqrt[8]{\frac{a^8+b^8}{2}}\leq \sum_{}^{}\frac{a^2}{b}$.(Lặp lại 3 lần có sự tham gia của $c$)
14
phiếu
1đáp án
1K lượt xem

$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}+x+2y+\frac{1}{2}=\sqrt{(x^{2}+2x+3)(-y^{2}+4y-2)}$
Gỉai pt nhé mn!

$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}+x+2y+\frac{1}{2}=\sqrt{(x^{2}+2x+3)(-y^{2}+4y-2)}$
13
phiếu
1đáp án
1K lượt xem

$$\begin{cases}x^{3}+3xy^{2}=6xy-3x-49 \\ x^{2}-8xy+y^{2}=10y-25x-9 \end{cases}$$
Hệ pt mọi người nhé!

$$\begin{cases}x^{3}+3xy^{2}=6xy-3x-49 \\ x^{2}-8xy+y^{2}=10y-25x-9 \end{cases}$$
13
phiếu
1đáp án
1K lượt xem

Cho $\Delta ABC$ có chu vi bằng $2$.Kí hiệu $a,b,c$ là độ dài các cạnh của tam giác.Tìm $GTNN$ của biểu thức:
$S=\frac{a}{b+c-a}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}$.
Bất đẳng thức trong hình học ( Cái này mới )

Cho $\Delta ABC$ có chu vi bằng $2$.Kí hiệu $a,b,c$ là độ dài các cạnh của tam giác.Tìm $GTNN$ của biểu thức:$S=\frac{a}{b+c-a}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}$.
13
phiếu
1đáp án
1K lượt xem

Cho: $a,b,c,d>0$ và $abc+bcd+cda+dab=1$.
Tìm $Min P =4(a^3+b^3+c^3)+9d^3.$
Giá trị nhỏ nhất

Cho: $a,b,c,d>0$ và $abc+bcd+cda+dab=1$.Tìm $Min P =4(a^3+b^3+c^3)+9d^3.$
6
phiếu
0đáp án
386 lượt xem

Giải HPT:
$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[3]{xy(x-2y)+9x^2-31x+27}+\sqrt{-x^2+5y^2+2x+2y+9}=5\\ 8x^2-32=4y(\sqrt{9x^2-32}+x) \end{array} \right.$
Cần người giúp!!!

Giải HPT:$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[3]{xy(x-2y)+9x^2-31x+27}+\sqrt{-x^2+5y^2+2x+2y+9}=5\\ 8x^2-32=4y(\sqrt{9x^2-32}+x) \end{array} \right.$
2
phiếu
2đáp án
1K lượt xem

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $\begin{cases}
 & \text{  } a\leq b\leq c  \\
 & \text{  } a+b+c=6  \\
 & \text{  } ab+bc+ca=9  
\end{cases}$
CMR: $0\leq a\leq 1\leq b\leq 3\leq c\leq 4$
Khai xuân Bính Thân :D

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $\begin{cases} & \text{ } a\leq b\leq c \\ & \text{ } a+b+c=6 \\ & \text{ } ab+bc+ca=9 \end{cases}$CMR: $0\leq a\leq 1\leq b\leq 3\leq c\leq 4$
8
phiếu
1đáp án
905 lượt xem

Tìm GTLN của:
$M=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$.
Với $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$
GTLN 3 lại khó rồi :))

Tìm GTLN của:$M=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$.Với $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$
11
phiếu
1đáp án
1K lượt xem

Tìm $GTLN$ của:
$A=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{4}+(\sqrt{a}+\sqrt{c})^{4}+(\sqrt{a}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{c}+\sqrt{d})^{4}$.
Với $a,b,c,d$ là các số dương và $a+b+c+d\leq1$
GTLN lại là 1 bài khó...................

Tìm $GTLN$ của:$A=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{4}+(\sqrt{a}+\sqrt{c})^{4}+(\sqrt{a}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{c}+\sqrt{d})^{4}$.Với $a,b,c,d$ là các số dương và $a+b+c+d\leq1$
10
phiếu
2đáp án
1K lượt xem

$\frac{1}{1+3a^2}+\frac1{1+3b^2}+\frac1{1+3c^2}+\frac1{1+3d^2} \geq \frac{16}{7}$
Cho $a,b,c,d > 0$ và $a+b+c+d=2$. Chứng minh :

$\frac{1}{1+3a^2}+\frac1{1+3b^2}+\frac1{1+3c^2}+\frac1{1+3d^2} \geq \frac{16}{7}$
2
phiếu
1đáp án
702 lượt xem

Cho $a,b,c>0$.C/m:
$\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2} \geq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}$
BĐT khó

Cho $a,b,c>0$.C/m:$\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2} \geq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}$
9
phiếu
1đáp án
1K lượt xem

Cho $x \geq y \geq z \geq 0$. C/m:
$\frac{xy+yz+zx}{y^2+yz+z^2} \geq \frac{x+z}{y+z}$
BĐT

Cho $x \geq y \geq z \geq 0$. C/m:$\frac{xy+yz+zx}{y^2+yz+z^2} \geq \frac{x+z}{y+z}$
12
phiếu
4đáp án
3K lượt xem

Tìm Min $P=x+2y+3z$
Tiện thể cho em hỏi cách tìm điểm rơi và giải bđt khi x,y,z ko bằng nhau ạ
Cho $x.y,z>0$ và $2x+8y+21z \leq 12xyz$

Tìm Min $P=x+2y+3z$Tiện thể cho em hỏi cách tìm điểm rơi và giải bđt khi x,y,z ko bằng nhau ạ
3
phiếu
1đáp án
1K lượt xem

Cho $a,b,c$ là các số thực dương, C/m:
$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ba}} \geq 1$
Bđt

Cho $a,b,c$ là các số thực dương, C/m:$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ba}} \geq 1$
0
phiếu
0đáp án
480 lượt xem

Cho $a,b,c$ thỏa mãn    $ a^2+9b^2+9c^2=16$
tính GTLN $Q=9ab+6bc+9ac$
giúp

Cho $a,b,c$ thỏa mãn $ a^2+9b^2+9c^2=16$tính GTLN $Q=9ab+6bc+9ac$
4
phiếu
1đáp án
693 lượt xem


$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{c+d+a}+\frac{c^{3}}{d+a+b}+\frac{d^{3}}{a+b+c}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{3}$
Cho $a,b,c,d$ dương. Chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{c+d+a}+\frac{c^{3}}{d+a+b}+\frac{d^{3}}{a+b+c}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{3}$
5
phiếu
0đáp án
1K lượt xem

Hệ hay $\begin{cases} x^2 -y^2 +x + \sqrt{(1-x)y}=2\sqrt{x+y} \\ (x-y)^2 +x + y = 2 \end{cases}$
Giải hệ phương trình

Hệ hay $\begin{cases} x^2 -y^2 +x + \sqrt{(1-x)y}=2\sqrt{x+y} \\ (x-y)^2 +x + y = 2 \end{cases}$
10
phiếu
0đáp án
1K lượt xem

Câu hệ đại học năm 2014

Giải hệ $\begin{cases} x\sqrt{12-y} +\sqrt{y(12-x^2)} =12 \\ x^3-8x-1=2\sqrt{y-2} \end{cases}$

Từ (1) ta có $12y -x^2y = 144 +12x^2 -x^2 y -24x\sqrt{12-y}$

$\Leftrightarrow x^2 -2x\sqrt{12-y} +12-y =0$

$\Leftrightarrow (x-\sqrt{12-y})^2=0 \Rightarrow  x=\sqrt{12-y};\ x\ge 0;\ \Rightarrow  y=12-x^2$ thế vào 2

$x^3-8x-1=2\sqrt{12-x^2 -2}$

$\Leftrightarrow x^3 -8x -1 =2\sqrt{10-x^2}$

$\Leftrightarrow (x-3) \bigg (x^2 +3x +1 + \dfrac{2x+3}{1+\sqrt{10-x^2}} \bigg )=0$ vế sau vô nghiệm với $x\ge 0$

Vậy nghiệm của hệ $(x;\ y) = (3;\ 3)$
Hệ ĐH năm 2014

Câu hệ đại học năm 2014Giải hệ $\begin{cases} x\sqrt{12-y} +\sqrt{y(12-x^2)} =12 \\ x^3-8x-1=2\sqrt{y-2} \end{cases}$Từ (1) ta có $12y -x^2y = 144 +12x^2 -x^2 y -24x\sqrt{12-y}$$\Leftrightarrow x^2 -2x\sqrt{12-y} +12-y =0$$\Leftrightarrow...
0
phiếu
0đáp án
170K lượt xem

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC


Khái niệm:
Hệ phương trình không mẫu mực là hệ phương trình không có cấu trúc (dạng) cụ thể, do đó cũng không có cách giải tổng quát. Phải tùy vào từng hệ phương trình mà có cách giải phù hợp.

Một số cách giải cơ bản:
1.    Phương pháp thế,
1.    Phương pháp đặt ẩn số phụ,
2.    Phương pháp cộng,
3.    Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số,
4.    Phương pháp dùng bất đẳng thức,
5.    Phương pháp đánh giá,
6.    Phương pháp đưa về hệ phương trình cùng bậc (đẳng cấp).
Sau đây là một số ví dụ cụ thể cho các phương pháp:

1. Phương pháp thế:
Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  6{x^2} - 3xy + x + y = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)  \\
  {x^2} + {y^2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)  \\
\end{array}  \right.$
Giải
Ta biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo ẩn x:
$6{x^2} + \left( {1 - 3y} \right)x + y - 1 = 0$
Ta tính biệt số delta của phương trình trên:
$\Delta  = {\left( {1 - 3y} \right)^2} - 24\left( {y - 1} \right) = {\left( {3y - 5} \right)^2}$
Ta tìm dược nghiệm là $x = \frac{{y - 1}}{2}\,\,\,\, \vee \,\,\,x = \frac{1}{3}$
Thế $x = \frac{1}{3}$      vào (2) $ \Rightarrow y =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$
Thế $x = \frac{{y - 1}}{2}$ vào (2) $ \Rightarrow \left[ \begin{array}
y =  - \frac{3}{4}\,\,\, \Rightarrow x =  - \frac{4}{5}  \\
y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow x = 0  \\
\end{array}  \right.$
Vậy nghiệm của hệ là: $\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right),\,\,\left( { - \frac{3}{4}; - \frac{4}{5}} \right),\,\,\left( {\frac{1}{3};\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right),\,\,\left( {\frac{1}{3}; - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)$

Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  {x^2}\left( {y + 1} \right)\left( {x + y + 1} \right) = 3{x^2} - 4x + 1\,\,\,\,\left( 1 \right)  \\
  xy + x + 1 = {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)  \\
\end{array}  \right.\,\,$
Giải
Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn phương trình (2).
Với x ≠ 0, từ (2) ta có $y + 1 = \frac{{{x^2} - 1}}{x}$. Thay vào (1) ta được:
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\,{x^2}\frac{{{x^2} - 1}}{x}\left( {x + \frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right) = 3{x^2} - 4x + 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2{x^2} - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right)  \\
   \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} + 2{x^2} - x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right)  \\
   \Leftrightarrow 2x\left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\, \vee \,\,x =  - 2\,\,\left( {{\text{do}}\,x \ne 0} \right)  \\
\end{array} $
–Với $x = 1 \Rightarrow y =  - 1$,     –Với $x =  - 2 \Rightarrow y = \frac{5}{2}$
Vậy hệ có nghiệm là $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( { - 2;\frac{5}{2}} \right)$

Ví dụ 3:
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}
  2{x^2} + x + {y^2} = 7\,\,\,\,\left( 1 \right)  \\
  xy - x + y = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)  \\
\end{array}  \right.\,\,\,$
Giải
Từ $\left( 2 \right) \Rightarrow y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\,\,\left( {x \ne  - 1} \right)$, thay vào (1) ta được:
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2{x^4} + 5{x^3} - 2{x^2} - 7x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} + 3x - 1} \right) = 0  \\
   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = 1  \\
  x =  - 2  \\
  x = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4}  \\
  x = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4}  \\
\end{array}  \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  x = 1  \\
  y = 2  \\
\end{array}  \right. \vee \left\{ \begin{array}
  x =  - 2  \\
  y =  - 1  \\
\end{array}  \right. \vee \left\{ \begin{array}
  x = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4}  \\
  y = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}  \\
\end{array}  \right. \vee \left\{ \begin{array}
  x = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4}  \\
  y = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{2}  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $
$S = \left\{ {\left( {1;2} \right),\left( { - 2; - 1} \right),\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4};\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right),\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4};\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} \right)} \right\}$

Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình sau:
$\begin{array}
  \left. a \right)\left\{ \begin{array}
  xy - 3x - x - 2y = 16  \\
  {x^2} + {y^2} - 2x - 3y = 33  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,b} \right)\left\{ \begin{array}
  {x^2} - xy + {y^2} = 3  \\
  2{x^3} - 9{y^3} = \left( {x - y} \right)\left( {2xy + 3} \right)  \\
\end{array}  \right.  \\
  \left. c \right)\left\{ \begin{array}
  xy + 3{y^2} - x + 4y = 7  \\
  2xy + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\left. {\,\,d} \right)\left\{ \begin{array}
  4{x^2} - 9{y^2} = 0  \\
  {x^2} + {y^2} = 4x + 3y  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array} $

2. Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Ví dụ 4:

Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  {x^2} + 1 + y\left( {x + y} \right) = 4y\,\,\,\,  \\
  \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + y - 2} \right) = y\,\,\,\,\,\,\,\,  \\
\end{array}  \right.\,\left( {\text{I}} \right)$
Giải
Dễ thấy y = 0 không thỏa hệ (I), nên ta có:
$\left( {\text{I}} \right)\left\{ \begin{array}
  \frac{{{x^2} + 1}}{y} + x + y = 4\,\,\,  \\
  \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{y}} \right)\left( {x + y - 2} \right) = 1\,\,\,\,\,\,\,\,  \\
\end{array}  \right.$
Đặt $u = \frac{{{x^2} + 1}}{y},\,\,\,v = x + y - 2$, ta có:  $\left\{ \begin{array}
  u + v = 2  \\
  uv = 1\,\,\,\,  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  u = 1  \\
  v = 1  \\
\end{array}  \right.$
Khi đó, suy ra: $\left\{ \begin{array}
  \frac{{{x^2} + 1}}{y} = 1  \\
  x + y - 2 = 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  y = {x^2} + 1  \\
  y + x = 3  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = 1\,\,\,\,\,\, \Rightarrow y = 2  \\
  x =  - 2\,\, \Rightarrow y = 5  \\
\end{array}  \right.$
Vậy nghiệm của hệ là: $\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right),\left( { - 2;5} \right)$.

Ví dụ 5:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  4xy + 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \frac{3}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = 7  \\
  2x + \frac{1}{{x + y}} = 3  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\left( {{\text{II}}} \right)\,\,\,\,$
Giải
Điều kiện: x + y ≠ 0. Khi đó:
$\left( {{\text{II}}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  3{\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x - y} \right)^2} + \frac{3}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = 7  \\
  x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 3  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,$
Đặt  $u = x + y + \frac{1}{{x + y}}$ (điều kiện: $\left| u \right| \geqslant 2$),$\,\,\,\,v = x - y$
$\left( {{\text{II}}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  3{u^2} + {v^2} = 13  \\
  u + v = 3  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  v = 3 - u  \\
  3{u^2} + {\left( {3 - u} \right)^2} = 13  \\
\end{array}  \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}
  u = 2 \Rightarrow v = 1  \\
  u =  - \frac{1}{2}\, \\
\end{array}  \right.$
Suy ra:       $\left\{ \begin{array}
  x + y + \frac{1}{{x + y}} = 2  \\
  x - y = 1  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = 1  \\
  y = 0  \\
\end{array}  \right.$
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right)$

Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình sau:
$\begin{array}
  a)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {2{x^2}{y^2} + {x^2} + 2x = 2} \\
  {2{x^2}y - {x^2}{y^2} + 2xy = 1}
\end{array}\;{\text{                   b)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x + y + xy = 5} \\
  {{{(x + 1)}^3} + {{(y + 1)}^3} = 35}
\end{array}} \right.} \right.  \\
  c)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^2} + {y^2} + x + y = 4} \\
  {x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2}
\end{array}{\text{              d)}}} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt {2x + y + 1}  - \sqrt {x + y}  = 1} \\
  {3x + 2y = 4}
\end{array}} \right.  \\
\end{array} $

3. Phương pháp cộng:
Ví dụ 6:

Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  \sqrt {x + 1}  + \sqrt {y - 1}  = 4  \\
  \sqrt {x + 6}  + \sqrt {y + 4}  = 6  \\
\end{array}  \right.$
Giải
Điều kiện: $x \geqslant  - 1,\,\,\,y \geqslant 1$
Cộng và trừ vế theo vế của hai phương trình, ta có:
$\left\{ \begin{array}
  \sqrt {x + 6}  + \sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 4}  + \sqrt {y - 1}  = 4  \\
  \sqrt {x + 6}  - \sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 4}  - \sqrt {y - 1}  = 6  \\
\end{array}  \right.\,\,\,\,\,\left( * \right)$
Đặt     $u = \sqrt {x + 6}  + \sqrt {x + 1}  \Rightarrow \sqrt {x + 6}  - \sqrt {x + 1}  = \frac{5}{u}$
$v = \sqrt {y + 4}  + \sqrt {y - 1}  \Rightarrow \sqrt {y + 4}  - \sqrt {y - 1}  = \frac{5}{v}$
Khi đó hệ (*) trở thành
$\left\{ \begin{array}
  u + v = 10  \\
  \frac{5}{u} + \frac{5}{v} = 2  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  u = 5  \\
  v = 5  \\
\end{array}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}
  \sqrt {x + 6}  + \sqrt {x + 1}  = 5  \\
  \sqrt {y + 4}  + \sqrt {y - 1}  = 5  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = 3  \\
  y = 4  \\
\end{array}  \right.$
Vậy nghiệm của hệ là $\left( {x;y} \right) = \left( {3;4} \right)$


Ví dụ 7:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  \sqrt {{x^2} + 91}  = \sqrt {y - 2}  + {y^2}\,\,\,\,\left( 1 \right)  \\
  \sqrt {{y^2} + 91}  = \sqrt {x + 2}  + {x^2}\,\,\,\,\left( 2 \right)  \\
\end{array}  \right.$
Giải
Điều kiện: $x,y > 2$
Lấy (1) trừ (2) ta được:
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} + 91}  - \sqrt {{y^2} + 91}  = \sqrt {y - 2}  - \sqrt {x + 2}  + {y^2} - {x^2}  \\
   \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + \sqrt {{y^2} + 91} }} = \frac{{y - x}}{{\sqrt {y - 2}  + \sqrt {x + 2} }} + {y^2} - {x^2}  \\
   \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\underbrace {\left( {\frac{{x + y}}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + \sqrt {{y^2} + 91} }} + \frac{1}{{\sqrt {y - 2}  + \sqrt {x + 2} }} + x + y} \right)}_{ > \,0\forall \,x,y\,\, > \,\,2} = 0  \\
   \Leftrightarrow \,x = y  \\
\end{array} $
Thế $x = y$ vào phương trình (1), ta có:
$\begin{array}
  \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} + 91}  = \sqrt {x - 2}  + {x^2} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 91}  - 10 = \sqrt {x - 2}  - 1 + {x^2} - 9  \\
   \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + 20}} = \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 2}  + 1}} + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)  \\
   \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\underbrace {\left[ {\left( {x + 3} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 91}  + 10}} - 1} \right) - \frac{1}{{\sqrt {x - 2}  + 1}}} \right]}_{ > \,0\forall \,x,y\,\, > \,\,2\,} = 0  \\
   \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow y = 3  \\
\end{array} $
Vậy hệ có mộ nghiệm duy nhất: $\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)$

Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình sau:
$\begin{array}
  a)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x + y + xy = 1{\text{              }}} \\
  {{x^2} + {y^2} + 3(x + y) = 28}
\end{array}\;{\text{               b)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt {x + \frac{1}{y}}  + \sqrt {x + y - 3}  = 3} \\
  {2x + y + \frac{1}{y} = 5}
\end{array}} \right.} \right.  \\
  b)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^2} + y + {x^3}y + x{y^2} + xy = \frac{{ - 5}}{4}} \\
  {{x^4} + {y^2} + xy(1 + 2x) = \frac{{ - 5}}{4}}
\end{array}} \right.{\text{        c)}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {2 + 6y = \frac{x}{y} - \sqrt {x - 2y} } \\
  {\sqrt {x - \sqrt {x - 2y} }  = x + 3y - 2}
\end{array}} \right.  \\
\end{array} $

4.  Phương pháp dùng bất đẳng thức:
Ví dụ 8:

Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}
  \sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 1}  + \sqrt {z + 1}  = 6  \\
  x + y + z = 9  \\
\end{array}  \right.$
Giải
Điều kiện: $x,y,z \geqslant  - 1$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:
${\left( {1.\sqrt {x + 1}  + 1.\sqrt {y + 1}  + 1.\sqrt {z + 1} } \right)^2} \leqslant 3\left( {x + y + z} \right) = 36$
Suy ra: $\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 1}  + \sqrt {z + 1}  \leqslant 6$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow x = y = z = 3$ thỏa mản phương trình thứ hai của hệ.
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất $\left( {x;y;z} \right) = \left( {3;3;3} \right)$

Ví dụ 9:
Giải hệ phương trình sau:    $\left\{ \begin{array}
  \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} = y  \\
  \frac{{3{y^3}}}{{{y^4} + {y^2} + 1}} = z  \\
  \frac{{4{z^4}}}{{{z^6} + {z^4} + {z^2} + 1}} = x  \\
\end{array}  \right.$
Giải
Vì $\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} = y \geqslant 0$nên xảy ra hai trường hợp sau:
    Với y = 0, khi đó x = y = z = 0
v
Vậy $\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;0} \right)$ là một nghiệm của hệ phương trình.
    Với y
v > 0, khi đó x > 0, z > 0.
Dễ thấy ${x^2} + 1 \geqslant 2{x^2}$ nên $\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} \leqslant x\,\,{\text{hay}}\,\,y \leqslant x$.
Theo BĐT Cauchy, ta có:
${y^4} + {y^2} + 1 \geqslant 3\sqrt[3]{{{y^4}.{y^2}.1}} = 3{y^2} \Rightarrow \frac{{3{y^2}}}{{{y^4} + {y^2} + 1}} \leqslant y\,\,{\text{hay}}\,\,z \leqslant y$
Từ phương trình thứ 3 của hệ suy ra $x \leqslant z$. Vậy $x \leqslant y \leqslant z \leqslant x$, điều này xảy ra $ \Leftrightarrow x = y = z$.
Thay vào phương trình đầu ta được $x = y = z = 1$  (thoả)
Vậy nghiệm của hệ là $\left( {x;y;z} \right) = \left( {0;0;0} \right)\left( {1;1;1} \right)$

Bài tập rèn luyện
Giải các hệ phương trình sau:
$\left. a \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {(x - 1)\sqrt y  + (y - 1)\sqrt x  = \sqrt {2xy} } \\
  {x\sqrt {y - 1}  + y\sqrt {x - 1}  = xy}
\end{array}} \right.{\text{ }}\left. \\b \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\sqrt {4x + 1}  + \sqrt {4y + 1}  + \sqrt {4z + 1}  = 9} \\
  {x + y + z = 6{\text{                              }}}
\end{array}} \right.$

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Khái niệm: Hệ phương trình không mẫu mực là hệ phương trình không có cấu trúc (dạng) cụ thể, do đó cũng không có cách giải tổng quát. Phải tùy vào từng hệ phương trình mà có cách giải phù...

Trang trước123 153050mỗi trang