Sổ tay cá nhân

$\sqrt{1+999^{2}+\frac{999^{2}}{1000^{2}}} + \frac{999}{1000}$

Cho a,b,c>0. Tìm max $P= \frac{4}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4} }-\frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)} }$

Cho x,y>0 t/m $xy\leq y-1$
Tìm max P= $\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}-xy+3y^{2}}}-\frac{x-2y}{6(x+y)}$

Bài 18: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số đó bằng 18?

b) Hỏi có bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đó?

* chỉ giùm em cách tính tổng nhé.

Bài 17: Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9. Hỏi:
a) Có bao nhiêu biển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số đôi một khác nhau?
b) Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác nhau và có đúng 2 chữ số lẻ giống nhau?

Chứng minh :$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2005}} > 2\times(\sqrt{2006} - 1$

Cho x,y>0; x+y=1
Tìm max, min
$T= \frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}$

cho a,b,c là ba số thực không âm và thoả mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} =1$.
tìm max $M= (a+b+c)^{3} - (a+b+c) + 6abc$

CM: $\left| {8x^{4}-8x^{2}+1}\right| \leq 1$ với mọi $a\in  \left[ {-1;1} \right]$

cho pt: $x^{3} + x^{2} + ax + b = 0$ có 3 ngiệm thực p.biệt.
CM: $a^{2} - 3b >0$

1) $sin2x+ \sqrt{3}cosx=\sqrt{3}.$

1, $\cos ^{4}x+ \sin ^{4} (x+\frac{\pi }{4})= \sin 2x.\cos 2x- \frac{5}{4}\tan (x+\frac{\pi }{4}).\tan (x-\frac{\pi }{4})$

Tìm $m$ để đồ thị của $y=x^4-\left(m^2+10\right)x^2+9$ cắt $Ox$ tại bốn điểm có các hoành độ $x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4$ sao cho $\left|x_1\right|+|x_2|+|x_3|+|x_4|=8.$

Giải phương trình: $$\cot x+\sin x=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}+\dfrac{1}{\sin x}$$

a) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
$y= \sqrt{x - 2008} + \sqrt{2009 - x}$
b) Chứng minh: $7.5x^{2n} + 12.6x^{n}$ chia hết cho $19$ với $\forall x\in \mathbb N.$

Giải phương trình:
$\frac{11}{x^{2}}-\frac{25}{\left ( x+5 \right )^{2}}=1$

Cm với mọi $a,b\in R$ ta đều có $\frac{\left| {a+b} \right|}{1+\left| {a+b} \right|} \leq  \frac{\left| {a} \right|}{1+\left| {a} \right|} + \frac{\left| {b} \right|}{1+\left| {b} \right|}$

Cho $x,\,y,\,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{2y+z+x}+\dfrac{z}{2z+x+y}\leq\dfrac{3}{4}$$

cho $a,b,c$ duong ,chung minh:

Cho $a,\,b,\,c,\,d>0$ thỏa $a+b+c+d=1.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{a}{1+b^2c}+\dfrac{b}{1+c^2d}+\dfrac{c}{1+d^2a}+\dfrac{d}{1+a^2b}\geq2$$

Cho tam giác ABC nhọn và đường phân giác trong AD. CMR: $AD\geq \frac{1}{2}\sqrt{4AB.AC-BC^2}$

Trên mặt phẳng cho 2013 điểm màu đỏ và 2014 điểm màu xanh, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta chia mặt phẳng bởi các đường thẳng (không đi qua bất kì điểm nào trong các điểm đã cho) thành các vùng, sao cho không có bất kì vùng nào chứa các điểm có hai màu khác nhau. Hỏi cần ít nhất là bao nhiêu đường thẳng để luôn thực hiện được cách chia đó ?

Cho $a+b=1$ CMR: $a^3+b^3\geq \frac{1}{4}$

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Chứng minh:

Cho x+y=1. CMR $x^4+y^4\geq 1/8$

Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nội tiếp đường tròn bán kính $R=1$

CMR Nếu $x\geq y\geq z>0$ thì $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq x^2+y^2+z^2$

Chứng minh $x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$
$1<x<2$

CMR  : $a+\frac{1}{b(a-b)} \ge 3$ với $a \ge b.$

Cho $x,y\geq \sqrt{2}$