Sổ tay cá nhân

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
$1.$  Khái niệm cực trị hàm số:
Giả sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp $D (D\subset
\mathbb{R})$ và $x_0\in D$
a)    $x_0$ được gọi là một điểm cực đại của hàm số $f$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$  sao cho $(a;b) \subset D$ và $f(x) < f (x_0)$ với mọi $x\in(a;b)\setminus \left\{ {x_0} \right\}$. Khi đó $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f$.
b)    $x_0$ được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số $f$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$  sao cho $(a;b) \subset D$ và $f(x) > f (x_0)$ với mọi $x\in(a;b)\setminus \left\{ {x_0} \right\}$. Khi đó $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $f$.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu $x_0$ là một điểm cực trị của hàm số $f$ thì người ta nói rằng hàm số $f$ đạt cực trị tại điểm $x_0$.
Như vậy: điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp $D(D\subset
\mathbb{R})$.
$2$.  Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý $1$. Giả sử hàm số $f$ đạt cực trị tại điểm $x_0$. Khi đó, nếu $f$ có đạo hàm tại điểm $x_0$  thì $f’(x_0)=0$
Chú ý:
    Đạo hàm $f’$ có thể bằng $0$ tại điểm $x_0$ nhưng hàm số $f$ không đạt cực trị tại điểm $x_0$.
    Hàm số có thể đạt cực tri tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
    Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
$3.$    Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý $2$: Giả sử hàm số $f$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a; x_0)$  và $(x_0;b)$. Khi đó
a)  Nếu $\begin{cases}f'(x_0)<0, x\in (a;x_0) \\f'(x_0)>0, x\in (x_0;b) \end{cases}$ thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_0$. Nói một cách khác, nếu $f’(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ qua điểm $x_0.$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_0$.

b)  Nếu $\begin{cases}f'(x_0)>0, x\in (a;x_0) \\f'(x_0)<0, x\in (x_0;b) \end{cases}$ thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0$. Nói một cách khác, nếu $f’(x)$ từ dương sang âm khi $x$ qua điểm $x_0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$.


Định lý $3$. Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm cấp một trên khoảng $(a,b)$ chứa điểm $x_0,f'(x_0 )=0$ và $f$ có đạo hàm cấp hai khác $0$ tại điểm $x_0.$
a)    Nếu $f’’(x_0)<0$  thì hàm số $f$ đạt cực đại tại điểm $x_0.$
b)    Nếu $ f’’(x_0)>0$  thì hàm số $f$ đạt cực tiểu tại điểm $x_0.$
$4$.  Quy tắc tìm cực trị:
Quy tắc $1$: áp dụng định lý $2$
    Tìm $f’(x)$
    Tìm các điểm $x_i (i=1,2,3…)$ tại đó đạo hàm bằng $ 0$ hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
    Xét dấu của $f’(x)$. Nếu $f’(x)$ đổi dấu khi $x$ qua điểm $x_0$ thì hàm số có cực trị tại điểm $x_0.$
Quy tắc $2$: áp dụng định lý $3$
    Tìm $ f’(x)$
    Tìm các nghiệm $x_i (i=1,2,3…)$ của $f’(x) = 0$
    Với mỗi $x_i$ tính $f’’(x_i).$
    Nếu $f’’(x_i)<0$  thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_i.$
    Nếu $f’’(x_i)>0$  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_i.$

B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ $1$. Tìm cực trị của các hàm số
a) $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+\frac{5}{3}$
b) $y=f(x)=|x|(x+2)$
Lời giải :
a) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$.
Ta có : $f'(x)=x^2-2x-3$
           $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=-1\\ x=3\end{matrix}} \right.$
Cách $1.$ Bảng biến thiên
 
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1, f(-1)=\frac{10}{3}$, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=3, f(3)=-\frac{22}{3}$.
 Cách $2.$ $f''(x)=2x-2$
Vì $f''(-1)=-4<0$ nên hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1, f(-1)=\frac{10}{3}$.
Vì $f''(3)=4>0$ nên hàm số đạt cực đại tại điểm $x=3, f(3)=-\frac{22}{3}$.
 b) $f(x)=|x|(x+2)=\begin{cases}x(x+2)  \text {khi}  x \ge 0\\-x(x+2)  \text {khi}  x < 0 \end{cases}$
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$.
 Ta có : $f'(x)=\begin{cases}2x+2>0  \text {khi}  x > 0\\ -2x-2>0  \text {khi}  x < 0 \\ 0  \text {khi}  x = 0\end{cases}$
 Hàm số liên tục tại $x=0$, không có đạo hàm tại $x=0$.
 Bảng biến thiên
 
 Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-1, f(-1)=1.$
 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0, f(0)=0.$
Ví dụ $2$. Tìm cực trị của các hàm số
a) $f(x)=x\sqrt{4-x^2}$
b) $f(x)=8-2\cos x -\cos 2x$
Lời giải :
a) Hàm số đã cho xác định trên $[-2;2]$.
Ta có : $f'(x)=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}},    x \in (-2;2)$
           $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=-\sqrt 2\\ x=\sqrt 2\end{matrix}} \right.$
Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=-\sqrt 2, f(-\sqrt 2)=-2$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\sqrt 2, f(\sqrt 2)=2$.
 b)
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$.
 Ta có : $f'(x)=2\sin x + 2\sin 2x=2\sin x(1+2\cos x)$
            $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}\sin x=0\\ \cos x=-\frac{1}{2} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=k\pi\\  x=\pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi\end{matrix}} \right.     ( k \in \mathbb{Z})$
           $f''(x)=2\cos x+4\cos 2x$
           $f''\left ( \pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi \right )=-3<0$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=\pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi,f\left ( \pm \frac{2\pi}{3} +k2\pi \right )=\frac{9}{2}$
           $f''\left ( k\pi \right )=2\cos k\pi +4>0$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=k\pi,f\left ( k\pi \right )=2(1-\cos k\pi)$
Bài tập tương tự. Tìm cực trị của các hàm số
a) $f(x)=\sqrt{|x|}(x-3)$
b) $f(x)=|x|$
c) $f(x)=2\sin 2x -3$
d) $f(x)=x-\sin 2x +2$
  Đáp số :
a)
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0, f(0)=0$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=1, f(1)= -2$.
 b)
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0, f(0)=0$.
 c)
Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=\frac{\pi}{4}+k\pi, f\left ( \frac{\pi}{4}+k\pi \right )=-1$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\frac{\pi}{4}+(2k+1)\frac{\pi}{2},f\left ( \frac{\pi}{4}+(2k+1)\frac{\pi}{2} \right )=-5$.
 Trong đó $k \in \mathbb{Z}.$
d)
Hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=-\frac{\pi}{6}+k\pi$,
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\frac{\pi}{6}+k\pi$.
 Trong đó $k \in \mathbb{Z}.$ 
 Ví dụ $3$.
a) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x,m)=(m+2)x^3+3x^2+mx+m$ có cực đại, cực tiểu.
b) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x,m)=\frac{1}{2}x^4-mx^2+\frac{3}{2}$có cực tiểu mà không có cực đại.
Lời giải :
a) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}.$
Ta có : $y'=3(m+2)x^2+6x+m$
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt hay
$\begin{cases}m+2 \ne 0 \\ \Delta'=9-3m(m+2)>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m+2 \ne 0 \\ m^2+2m-3<0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m+2 \ne 0 \\ -3<m<1 \end{cases}$
Vậy giá trị $m$ cần tìm là $-3<m<1, m \ne -2$.
b) Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}.$
Ta có : $y'=2x^3-2mx$
            $y'=0\Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix} x=0\\ x^2=m   (*) \end{matrix}} \right.$
Hàm số đã cho có cực tiểu mà không có cực đại khi phương trình $y'=0$ có một nghiệm duy nhất và $y'$ đổi dấu khi $x$ đi qua nghiệm đó. Khi đó PT $x^2=m   (*)$ vô nghiệm hay có nghiệm kép $x=0\Leftrightarrow m \le 0$.
 Vậy $m \le 0$ là giá trị cần tìm.
 Bài tập tương tự.
a) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x)=x^3+(m+3)x^2+1-m$ đạt cực đại tại $x=-1$
b) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $y=f(x)=x^3-6x^2+3(m+2)x-m-6$ đạt cực đại và cực tiểu đông thời hai giá trị này cùng dấu.
Hướng dẫn :
a) Chứng tỏ rằng $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=0\\ x= -\frac{2m+6}{3}\end{matrix}} \right.$
Để suy ra yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow -\frac{2m+6}{3}=-1\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}$
b) Đáp số : $-\frac{17}{4}<m<2$.

Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ chính:
1. Đặt ẩn phụ thông thường
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến
3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
4. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Phương pháp thứ 4 sẽ được tách riêng ra một chuyên đề riêng: “Chuyển phương trình vô tỉ về hệ phương trình”

CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
Phương pháp:
Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng  ta có thể đặt $t = f\left( x \right)$  và chú ý điều kiện của $t$nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến $t$quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo $t$ thì việc đặt phụ xem như “ hoàn toàn” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn $t = f\left( x \right)$  thường là những phương trình dễ .

Bài 1:
Giải phương trình: $\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} }  + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} }  = 2$
Giải:
Đk: $x \geqslant 1$
Nhận xét. $\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} } .\sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} }  = 1$
Đặt $t = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} } $ thì phương trình có dạng: $t + \frac{1}{t} = 2 \Leftrightarrow t = 1$
Thay vào  tìm được $x = 1$

Bài 2:
 Giải phương trình: $2{x^2} - 6x - 1 = \sqrt {4x + 5} $
Giải:
Điều kiện: $x \geqslant  - \frac{4}{5}$
Đặt $t = \sqrt {4x + 5} (t \geqslant 0)$ thì $x = \frac{{{t^2} - 5}}{4}$. Thay vào ta có phương trình sau:
$2.\frac{{{t^4} - 10{t^2} + 25}}{{16}} - \frac{6}{4}({t^2} - 5) - 1 = t \Leftrightarrow {t^4} - 22{t^2} - 8t + 27 = 0$
$ \Leftrightarrow ({t^2} + 2t - 7)({t^2} - 2t - 11) = 0$
Ta tìm được bốn nghiệm là: ${t_{1,2}} =  - 1 \pm 2\sqrt 2 ;\,\,{t_{3,4}} = 1 \pm 2\sqrt 3 $
Do $t \geqslant 0$ nên  chỉ nhận các gái trị ${t_1} =  - 1 + 2\sqrt 2 ,{t_3} = 1 + 2\sqrt 3 $
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: $x = 1 - \sqrt 2 {\text{ va{\o} }}x = 2 + \sqrt 3 $
Cách khác: Ta có  thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện $2{x^2} - 6x - 1 \geqslant 0$
Ta được: ${x^2}{(x - 3)^2} - {(x - 1)^2} = 0$, từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.
Đơn giản nhất là ta đặt : $2y - 3 = \sqrt {4x + 5} $   và đưa về hệ đối xứng  

Bài  3:
Giải phương trình: $x + \sqrt {5 + \sqrt {x - 1} }  = 6$
Giải:
Điều kiện: $1 \leqslant x \leqslant 6$
Đặt $y = \sqrt {x - 1} (y \geqslant 0)$ thì phương trình trở thành: ${y^2} + \sqrt {y + 5}  = 5 \Leftrightarrow {y^4} - 10{y^2} - y + 20 = 0$( với $y \leqslant \sqrt 5 )$$ \Leftrightarrow ({y^2} + y - 4)({y^2} - y - 5) = 0$$ \Leftrightarrow y = \frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}{\text{(loa\"i i)}},\,\,y = \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}$
Từ đó ta tìm được các giá trị của $x = \frac{{11 - \sqrt {17} }}{2}$

Bài 4:
Giải phương trình  sau :$x = \left( {2004 + \sqrt x } \right){\left( {1 - \sqrt {1 - \sqrt x } } \right)^2}$
Giải:
ĐK $0 \leqslant x \leqslant 1$
Đặt $y = \sqrt {1 - \sqrt x } $  pttt$ \Leftrightarrow 2{\left( {1 - y} \right)^2}\left( {{y^2} + y - 1002} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 1 \Leftrightarrow x = 0$

Bài 5:
Giải phương trình : ${x^2} + 2x\sqrt {x - \frac{1}{x}}  = 3x + 1$
Giải:
Điều kiện: $ - 1 \leqslant x < 0$
Chia cả hai vế cho x ta nhận được:$x + 2\sqrt {x - \frac{1}{x}}  = 3 + \frac{1}{x}$
Đặt $t = x - \frac{1}{x}$, ta giải được.

Bài 6:
Giải phương trình : ${x^2} + \sqrt[3]{{{x^4} - {x^2}}} = 2x + 1$
Giải: $x = 0$ không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: $\left( {x - \frac{1}{x}} \right) + \sqrt[3]{{x - \frac{1}{x}}} = 2$
Đặt t=$\sqrt[3]{{x - \frac{1}{x}}}$,  Ta có  : ${t^3} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow $$t = 1 \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$

Nhận xét: đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải  quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với $t$ lại quá khó giải  

2.  Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến.
Phương pháp:
Chúng ta đã biết cách giải phương trình: ${u^2} + \alpha uv + \beta {v^2} = 0$   (1) bằng cách
Xét $v \ne 0$ phương trình trở thành  : ${\left( {\frac{u}{v}} \right)^2} + \alpha \left( {\frac{u}{v}} \right) + \beta  = 0$
$v = 0$ thử trực tiếp
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)
$a.A\left( x \right) + bB\left( x \right) = c\sqrt {A\left( x \right).B\left( x \right)} $
$\alpha u + \beta v = \sqrt {m{u^2} + n{v^2}} $
Chúng ta hãy thay các biểu thức $A(x) , B(x)$  bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này.

a) Phương trình dạng: $a.A\left( x \right) + bB\left( x \right) = c\sqrt {A\left( x \right).B\left( x \right)} $
Như vậy phương trình $Q\left( x \right) = \alpha \sqrt {P\left( x \right)} $ có thể giải bằng phương pháp trên nếu  
               $\left\{ \begin{array}
  P\left( x \right) = A\left( x \right).B\left( x \right)  \\
  Q\left( x \right) = aA\left( x \right) + bB\left( x \right)  \\
\end{array}  \right.$
Xuất phát từ đẳng thức :
              ${x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)$
              ${x^4} + {x^2} + 1 = \left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) - {x^2} = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)$
              ${x^4} + 1 = \left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 1} \right)\left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right)$
              $4{x^4} + 1 = \left( {2{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {2{x^2} + 2x + 1} \right)$
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như :
                        $4{x^2} - 2\sqrt 2 x + 4 = \sqrt {{x^4} + 1} $
Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai $a{t^2} + bt - c = 0$  giải  “ nghiệm đẹp”

Bài 1:
Giải phương trình : $2\left( {{x^2} + 2} \right) = 5\sqrt {{x^3} + 1} $
Giải:
Đặt $u = \sqrt {x + 1} ,v = \sqrt {{x^2} - x + 1} $
phương trình trở thành : $2\left( {{u^2} + {v^2}} \right) = 5uv \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  u = 2v  \\
  u = \frac{1}{2}v  \\
\end{array}  \right.$
Tìm được: $x = \frac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}$

Bài 3:  
Giải phương trình :$2{x^2} + 5x - 1 = 7\sqrt {{x^3} - 1} $
Giải:
Đk: $x \geqslant 1$
Nhận xét : Ta viết     $\alpha \left( {x - 1} \right) + \beta \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 7\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $
Đồng nhất thức  ta được  $3\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x + x + 1} \right) = 7\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $
Đặt $u = x - 1 \geqslant 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,v = {x^2} + x + 1 > 0$, ta được:  $3u + 2v = 7\sqrt {uv}  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  v = 9u  \\
  v = \frac{1}{4}u  \\
\end{array}  \right.$
Nghiệm :$x = 4 \pm \sqrt 6 $

Bài 4:
Giải phương trình :${x^3} - 3{x^2} + 2\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^3}}  - 6x = 0$
Giải:
Nhận xét : Đặt $y = \sqrt {x + 2} $ ta biến pt trình về dạng phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :
${x^3} - 3{x^2} + 2{y^3} - 6x = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3x{y^2} + 2{y^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  x = y  \\
  x =  - 2y  \\
\end{array}  \right.$
Pt có  nghiệm :$x = 2,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x = 2 - 2\sqrt 3 $

b).Phương trình dạng:  $\alpha u + \beta v = \sqrt {m{u^2} + n{v^2}} $
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.

Bài 1:
Giải phương trình : ${x^2} + 3\sqrt {{x^2} - 1}  = \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} $
Giải:
Ta đặt :$\left\{ \begin{array}
  u = {x^2}  \\
  v = \sqrt {{x^2} - 1}   \\
\end{array}  \right.$  khi đó phương trình trở thành : $u + 3v = \sqrt {{u^2} - {v^2}} $

Bài 2:
Giải phương trình : $\sqrt {{x^2} + 2x}  + \sqrt {2x - 1}  = \sqrt {3{x^2} + 4x + 1} $
Giải:
Đk $x \geqslant \frac{1}{2}$.  Bình phương 2 vế ta có : $\sqrt {\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {2x - 1} \right)}  = {x^2} + 1 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {2x - 1} \right)}  = \left( {{x^2} + 2x} \right) - \left( {2x - 1} \right)$
Ta có thể đặt : $\left\{ \begin{array}
  u = {x^2} + 2x  \\
  v = 2x - 1  \\
\end{array}  \right.$  khi đó ta có hệ : $uv = {u^2} - {v^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  u = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}v  \\
  u = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}v  \\
\end{array}  \right.$
Do $u,v \geqslant 0$. $u = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}v \Leftrightarrow {x^2} + 2x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {2x - 1} \right)$

Bài 3: 

Giải phương trình : $\sqrt {5{x^2} - 14x + 9}  - \sqrt {{x^2} - x - 20}  = 5\sqrt {x + 1} $
Giải:
Đk $x \geqslant 5$. Chuyển vế bình phương ta được: $2{x^2} - 5x + 2 = 5\sqrt {\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right)} $
Nhận xét: Không tồn tại số $\alpha ,\beta $ để : $2{x^2} - 5x + 2 = \alpha \left( {{x^2} - x - 20} \right) + \beta \left( {x + 1} \right)$ vậy ta không thể đặt
$\left\{ \begin{array}
  u = {x^2} - x - 20  \\
  v = x + 1  \\
\end{array}  \right.$.
Nhưng may mắn ta có : $\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x - 5} \right)$
Ta viết lại phương trình:  $2\left( {{x^2} - 4x - 5} \right) + 3\left( {x + 4} \right) = 5\sqrt {({x^2} - 4x - 5)(x + 4)} $.
Đến đây bài toán được giải quyết .

3.  Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Phương pháp:
Từ những phương trình tích $\left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  - x + 2} \right) = 0$,$\left( {\sqrt {2x + 3}  - x} \right)\left( {\sqrt {2x + 3}  - x + 2} \right) = 0$
Khai  triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .

Bài 1:
Giải phương trình :${x^2} + \left( {3 - \sqrt {{x^2} + 2} } \right)x = 1 + 2\sqrt {{x^2} + 2} $
Giải:
$t = \sqrt {{x^2} + 2} $ , ta có: ${t^2} - \left( {2 + x} \right)t - 3 + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t = 3  \\
  t = x - 1  \\
\end{array}  \right.$

Bài 2:
Giải phương trình : $\left( {x + 1} \right)\sqrt {{x^2} - 2x + 3}  = {x^2} + 1$
Giải:
Đặt : $t = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} t \geqslant \sqrt 2 $
Khi đó phương trình trở thành : $\left( {x + 1} \right)t = {x^2} + 1$$ \Leftrightarrow {x^2} + 1 - \left( {x + 1} \right)t = 0$
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t : ${x^2} - 2x + 3 - \left( {x + 1} \right)t + 2\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} - \left( {x + 1} \right)t + 2\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  t = 2  \\
  t = x - 1  \\
\end{array}  \right.$
Từ một phương trình đơn giản : $\left( {\sqrt {1 - x}  - 2\sqrt {1 + x} } \right)\left( {\sqrt {1 - x}  - 2 + \sqrt {1 + x} } \right) = 0$, khai triển ra ta sẽ được pt sau

Bài 3:   
Giải phương trình : $4\sqrt {x + 1}  - 1 = 3x + 2\sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 - {x^2}} $
Giải:
Nhận xét : đặt $t = \sqrt {1 - x} $, pt trở thành  $4\sqrt {1 + x}  = 3x + 2t + t\sqrt {1 + x} $  (1)
Ta rút  $x = 1 - {t^2}$ thay vào thì được pt: $3{t^2} - \left( {2 + \sqrt {1 + x} } \right)t + 4\left( {\sqrt {1 + x}  - 1} \right) = 0$
Nhưng không có  sự may mắn để giải được phương trình  theo t   $\Delta  = {\left( {2 + \sqrt {1 + x} } \right)^2} - 48\left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right)$ không có dạng bình phương .
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách  3x  theo  ${\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^2},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\left( {\sqrt {1 + x} } \right)^2}$
Cụ thể như sau : $3x =  - \left( {1 - x} \right) + 2\left( {1 + x} \right)$   thay vào pt  (1)

Bài 4:
Giải phương trình: $2\sqrt {2x + 4}  + 4\sqrt {2 - x}  = \sqrt {9{x^2} + 16} $
Giải:
Bình phương  2 vế phương trình: $4\left( {2x + 4} \right) + 16\sqrt {2\left( {4 - {x^2}} \right)}  + 16\left( {2 - x} \right) = 9{x^2} + 16$
Ta đặt : $t = \sqrt {2\left( {4 - {x^2}} \right)}  \geqslant 0$. Ta được: $9{x^2} - 16t - 32 + 8x = 0$
Ta phải tách $9{x^2} = \alpha 2\left( {4 - {x^2}} \right) + \left( {9 + 2\alpha } \right){x^2} - 8\alpha $ làm sao cho ${\Delta _t}$ có dạng số chính phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:
$\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  - \sqrt {(x + 1)(3 - x)}  = n$            (1)
a/ Giải phương trình n =  2
b/ Tìm các giá trị của n để phương trình có nghiệm
Giải:
Điều kiện
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x + 1 \geqslant 0} \\
  {3 - x \geqslant 0}
\end{array} \Leftrightarrow  - 1 \leqslant x \leqslant 3} \right.$
Đặt ẩn phụ $t = \sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x} ,t \geqslant 0$
Khi đó ${t^2} = 4 + 2\sqrt {(x + 1)(3 - x)} $
Hay $2\sqrt {(x + 1)(3 - x)}  = {t^2} - 4$                (2)
a/ Với n = 2 và ẩn phụ t, phương trình (1) trở thành.
$\begin{array}
  2t - ({t^2} - 4) = 4  \\
   \Leftrightarrow {t^2} - 2t = 0  \\
   \Leftrightarrow {t_1} = 0,{t_2} = 2  \\
\end{array} $
Dễ thấy t1 = 0 không thoả (2). Thay t2 = 2 vào (2) được $\sqrt {(x + 1)(3 - x)}  = 0, \Rightarrow {x_1} =  - 1,{x_2} = 3$, thoả điều kiện ban đầu.
b/ Đặt ẩn phụ t như trên, phương trình (1) trở thành:
$\begin{array}
  2t - ({t^2} - 4) = 2n  \\
   \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 2n - 4 = 0  \\
\end{array} $
+ $\Delta  = 5 - 2n \geqslant 0$ thì phương trình có nghiệm
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{t_1} = 1 + \sqrt {5 - 2n} } \\
  {{t_2} = 1 - \sqrt {5 - 2n} }
\end{array}} \right.$
Để phương trình có nghiệm thì $2 \leqslant t \leqslant 2\sqrt 2 $ (theo công thức tổng quát ở trên).
Với t2 không thoả mãn.
Với t1 ta có $2 \leqslant 1 + \sqrt {5 - 2n}  \leqslant 2\sqrt 2 $$ \Leftrightarrow 2\sqrt 2  - 2 \leqslant n \leqslant 2$
Điều kiện này bảo đảm phương trình (2) có nghiệm x. Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $2\sqrt 2  - 2 \leqslant n \leqslant 2$

Bài 2:
$\sqrt {x + 6\sqrt {x - 9} }  + \sqrt {x - 6\sqrt {x - 9} }  = \frac{{x + m}}{6}$
a/ Giải phương trình với m = 23
b/ Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Điều kiện $x - 9 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 9$
Đặt ẩn phụ $t = \sqrt {x - 9} $. Khi đó x = t2 + 9
Phương trình đã cho trở thành:
$\begin{array}
  6\left( {\sqrt {{{(1 + 3)}^2}}  + \sqrt {{{(x - 3)}^2}} } \right) = {t^2} + 9 + m  \\
   \Leftrightarrow 6\left( {\left| {t + 3} \right| + \left| {t - 3} \right|} \right) = {t^2} + 9 + m  \\
   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{t^2} - 12t + 9 + m = 0,t \geqslant 0} \\
  {{t^2} - 27 + m = 0,0 \leqslant t \leqslant 3}
\end{array}} \right.  \\
\end{array} $
a/ Với m = 23 có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{t^2} - 12t + 32 = 0,t \geqslant 3} \\
  {{t^2} = 4,0 \leqslant t \leqslant 3}
\end{array}} \right.$
     Giải ra ta được t1 = 8, t2 = 4, t3 = 2 nên phương trình có 3 nghiệm là x1=73, x2 = 25, x3 = 13.
b/ Với t ≥ 3 thì t2 – 12t + 9 + m = 0
   $ \Leftrightarrow {\left( {t - 6} \right)^2} = 27 - m$
Phương trình này có nghiệm khi 18 < m ≤ 27
Vậy phương trình có nghiệm khi m ≤ 27.

Bài 3:
Giải phương trình:      $x + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{{35}}{{12}}$     (1)
Giải:
Điều kiện x2 – 1 > 0, x > 0 $ \Leftrightarrow $ x > 1
Bình phương 2 vế của (1), ta có:
${x^2} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{{1225}}{{144}}$    
$ \Leftrightarrow \frac{{{x^4}}}{{{x^2} - 1}} + \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{{1225}}{{144}}$                (2)
Đặt $t = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$, với t > 0, ta có
(2) $ \Leftrightarrow {t^2} + 2t - \frac{{1225}}{{144}} = 0$                (3)
Phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu.
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{t_1} = \frac{{25}}{{12}}} \\
  {{t_2} =  - \frac{{49}}{{12}}}
\end{array}} \right.$                                                                                            
+ Với ${t_1} = \frac{{25}}{{12}}$
$ \Rightarrow 12({x^2} - 1) - 25\sqrt {{x^2} - 1}  + 12 = 0$            (4)
Đặt $y = \sqrt {{x^2} - 1} ,y > 0$. Ta có
$\begin{array}
  (4) \Leftrightarrow 12{y^2} - 25y + 12 = 0  \\
   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {y = \frac{4}{3}} \\
  {y = \frac{3}{4}}
\end{array}} \right.  \\
\end{array} $
Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm:
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = \frac{5}{4}} \\
  {x = \frac{5}{3}}
\end{array}} \right.$
Vậy nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{5}{4};\frac{5}{3}} \right\}$

Bài 4:
Giải phương trình:      $\sqrt[3]{{{{(x + a)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(x + a)}^2}}} + \sqrt[3]{{({x^2} - {a^2})}} = \sqrt[3]{{{a^2}}}$
Giải:
Đặt y = x + a, z = x – a
Nhân lượng liên hiệp
$\begin{array}
   \Rightarrow y - x = \sqrt[3]{{{a^2}}}\left( {\sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{z}} \right) = 2a  \\
   \Rightarrow \sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{z} = 2\sqrt[3]{a}  \\
\end{array} $
Lập phương 2 vế phương trình ta được
- yz = a2
$ \Rightarrow $ x = 0 (thử lại thoả)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

Bài 5:
Giải phương trình:      $\sqrt[4]{{629 - x}} + \sqrt[4]{{77 + x}} = 8$
Giải:
Đặt $\left\{ \begin{array}
  \,u = \sqrt[4]{{629 - x}}  \\
  \,v = \sqrt[4]{{77 + x}}  \\
\end{array}  \right.$
$ \Rightarrow u + v = 8,{u^4} + {v^4} = 706$
Đặt t = uv
$\begin{array}
   \Rightarrow {t^2} - 128t + 1695 = 0  \\
   \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {t = 15} \\
  {t = 113}
\end{array}} \right.  \\
\end{array} $
Với t = 15 $ \Rightarrow $ x = 4
Với t = 113 $ \Rightarrow $ x = 548
Thử lại ta thấy tập nghiêm của phương trình là $S = \left\{ {4;548} \right.{\text{\} }}$

Bài 6:
Giải phương trình:      $\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \left( {\sqrt {(1 + x} {)^3} - \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} } \right) = 2 + \sqrt {1 - {x^2}} $
Giải:
Điều kiện
-1 ≤ x ≤ 1
Đặt $u = \sqrt {1 + x} ,v = \sqrt {1 - x} $, với u, v > 0
$ \Rightarrow u.v = \sqrt {1 - {x^2}} ,{u^2} + {v^2} = 2,{u^2} - {v^2} = 2x$
Phương trình đã cho trở thành
$\begin{array}
  \sqrt {\frac{{{u^2} + {v^2}}}{2}}  + u.v({u^3} - {v^3}) = 2 + u.v  \\
   \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}(u + v)(u - v)({u^2} + uv + {v^2}) = 2 + u.v  \\
   \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}2x(2 + uv + {v^2}) = 2 + u.v  \\
   \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}  \\
\end{array} $
Thử lại ta thấu tập nghiệp của phương trình đã cho là $S = \left\{ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right\}$