Olympic Toán Việt Nam 2008: Cho các số thực $x,y,x\geq 0$ khác nhau đôi một. C/m: $\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}+\frac{1}{(x-y)^2}\geq\frac{4}{xy+yz+zx}$
Olympic Toán Việt Nam 2008:Cho các số thực $x,y,x\geq 0$ khác nhau đôi một. C/m:$\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}+\frac{1}{(x-y)^2}\geq\frac{4}{xy+yz+zx}$
|
|
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^2(b+1)}{b(a^2+ab+b^2)}\ge \frac{6}{a+b+c}$
Bất Động (ACAMOPHOMADADY 2016-2017)
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^2(b+1)}{b(a^2+ab+b^2)}\ge \frac{6}{a+b+c}$
|
|
Cho $a,b,c$ là các số thực dương không nhỏ hơn 1.Tìm $Min$ P =$\frac{1}{1+a^{6}}+\frac{2}{1+b^{3}}+ \frac{3}{1+c^{2}} +6\sqrt{1+abc(abc-1)}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương không nhỏ hơn 1.Tìm $Min$P =$\frac{1}{1+a^{6}}+\frac{2}{1+b^{3}}+ \frac{3}{1+c^{2}} +6\sqrt{1+abc(abc-1)}$
|
|
Cho $\Delta ABC$ với $3$ cạnh $a,b,c,$ đường cao $h_a,h_b,h_c$ và $p=\frac{a+b+c}{2}.$ Ta có: $\frac{p^2(1+\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}}\geq [\frac{a(a+2h_a)}{b+c}+\frac{b(b+2h_b)}{c+a}+\frac{c(c+2h_c)}{a+b}].[\frac{a(b+c)}{a+2h_a}+\frac{b(c+a)}{b+2h_b}+\frac{c(a+b)}{c+2h_c}]$
Cho $\Delta ABC$ với $3$ cạnh $a,b,c,$ đường cao $h_a,h_b,h_c$ và $p=\frac{a+b+c}{2}.$Ta có:$\frac{p^2(1+\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}}\geq [\frac{a(a+2h_a)}{b+c}+\frac{b(b+2h_b)}{c+a}+\frac{c(c+2h_c)}{a+b}].[\frac{a(b+c)}{a+2h_a}+\frac{b(c+a)}{b+2h_b}+\frac{c(a+b)}{c+2h_c}]$
|
|
Cho $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh : $a(a+b)^2+b(b+c)^2+c(c+a)^2 \ge 12$
Cho $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh :$a(a+b)^2+b(b+c)^2+c(c+a)^2 \ge 12$
|
|
Cho a,b,c>0 có a+b+c=3. CMR: $\frac{a^3+ab^2}{a^2+b+b^2}+ \frac{b^3+bc^2}{b^2+c+c^2}+\frac{c^3+ca^2}{c^2+a+a^2}\geq2$
Cho a,b,c>0 có a+b+c=3. CMR: $\frac{a^3+ab^2}{a^2+b+b^2}+ \frac{b^3+bc^2}{b^2+c+c^2}+\frac{c^3+ca^2}{c^2+a+a^2}\geq2$
|
|
Giải phương trình : $$x^3-3x=\sqrt{x+2}$$
|
|
Cho $a\ge4, b\ge 5,c\in [6;7]$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=90$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=a+b+c$.
|
|
Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh: $(a^2+b^2+c^2)^3\ge 9(a^3+b^3+c^3)$
Ai còn nhớ bài này?
Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh: $(a^2+b^2+c^2)^3\ge 9(a^3+b^3+c^3)$
|
|
Cho $a,b,c>0; 6(a^{2}+b^{2})+9c^{2}\leq 7ab+12ac$ .Tìm $Min$P=$\frac{c^{2}(a^{2}+1)+b^{2}+36}{8abc} +\frac{6b^{2}+3c^{2}}{ab+2ac}$
BĐT nè mn!!!
Cho $a,b,c>0; 6(a^{2}+b^{2})+9c^{2}\leq 7ab+12ac$ .Tìm $Min$P=$\frac{c^{2}(a^{2}+1)+b^{2}+36}{8abc} +\frac{6b^{2}+3c^{2}}{ab+2ac}$
|
|
Cho các số thực phân biệt $a,b,c$ và số thực bất kì $k\epsilon\left[ {0;1} \right]$ $CMR:\frac{a(a+kb)}{(a-b)^{2}}+\frac{b(b+kc)}{(b-c)^{2}}+\frac{c(c+ka)}{(c-a)^{2}}\geq \frac{7}{8}$
Cho các số thực phân biệt $a,b,c$ và số thực bất kì $k\epsilon\left[ {0;1} \right]$$CMR:\frac{a(a+kb)}{(a-b)^{2}}+\frac{b(b+kc)}{(b-c)^{2}}+\frac{c(c+ka)}{(c-a)^{2}}\geq \frac{7}{8}$
|
|
Cho $a,b,x,y$ là các số thực tm$ 0<a\leq4; 0<b\leq4;a+b\leq7;2 \leq x \leq 3 \leq y$. Tìm GTNN P= $\frac{2x^{2}+y^{2}+2x+y}{xy(a^{2}+b^{2})}$
Cho $a,b,x,y$ là các số thực tm$ 0<a\leq4; 0<b\leq4;a+b\leq7;2 \leq x \leq 3 \leq y$.Tìm GTNN P= $\frac{2x^{2}+y^{2}+2x+y}{xy(a^{2}+b^{2})}$
|
|
|
|
|
$\begin{cases}(y+2)\sqrt{4x+y^{2}}+xy+y^{2}+2y= x^{2} -2x\\ \frac{1-2\sqrt{x}-2y\sqrt{x}}{3-x-\sqrt{2-x}}= \frac{2+2x\sqrt{2y+4}}{2y+5}\end{cases}$
HPT
$\begin{cases}(y+2)\sqrt{4x+y^{2}}+xy+y^{2}+2y= x^{2} -2x\\ \frac{1-2\sqrt{x}-2y\sqrt{x}}{3-x-\sqrt{2-x}}= \frac{2+2x\sqrt{2y+4}}{2y+5}\end{cases}$
|
|
$a;b;c$ ko âm: $a+b+c=3$. $MIN$ A=$a^2+b^2+c^2-2ab-6bc-4ca$
$a;b;c$ ko âm: $a+b+c=3$. $MIN$A=$a^2+b^2+c^2-2ab-6bc-4ca$
|
|
Giải hệ pt: $\begin{cases}(x+2y-1)\sqrt{2y+1}=(x-2y)\sqrt{x+1} \\ 2xy+5y=\sqrt{(x+1)(2y+1)} \end{cases}$
PART 1
Giải hệ pt: $\begin{cases}(x+2y-1)\sqrt{2y+1}=(x-2y)\sqrt{x+1} \\ 2xy+5y=\sqrt{(x+1)(2y+1)} \end{cases}$
|
|
Cho $\left\{ \begin{array}{l} a,b,c>0\\ a^2+b^2+c^2=3 \end{array} \right..$ Chứng minh rằng: $\frac{a^2+3b^2}{a+3b}+\frac{b^2+3c^2}{b+3c}+\frac{c^2+3a^2}{c+3a}\geq 3$
|
|
cho $a;b;c>0$.CMR: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant 3\left[ {1+\sqrt[3]{\frac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(a+c)}{(ab+bc+ca)^{2}}}} \right]$
cho $a;b;c>0$.CMR:$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant 3\left[ {1+\sqrt[3]{\frac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(a+c)}{(ab+bc+ca)^{2}}}} \right]$
|
|
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\sum (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+\frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge 12$
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:$\sum (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+\frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge 12$
|
|
Cho $\left\{ \begin{array}{l} a>0\\ a_1;a_2;....;a_n \in [0;a] \end{array} \right..$ Tìm max: $S=\sum_{k=1}^{n}(a-a_1)(a-a_2)........(a-a_{k-1})a_k(a-a_{k+1}).....(a-a_n) $
|
|
Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+4abc=4$. Chứng minh rằng: $(a^2+b^2+c^2)^2+\frac{3\sqrt{3}}{16}(a^2b+b^2c+c^2a)\le 17$
Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2+4abc=4$. Chứng minh rằng:$(a^2+b^2+c^2)^2+\frac{3\sqrt{3}}{16}(a^2b+b^2c+c^2a)\le 17$
|
|
Cho $a,b,c>0.$ Chứng minh: $\frac{ab+bc-ca}{a^2+b^2}+\frac{bc+ca-ab}{b^2+c^2}+\frac{ca+ab-bc}{c^2+a^2}\leq \frac{3}{2}$
|
|
Cho $\left\{ \begin{array}{l} 0<a\leq b\\ x,y,z \in [a;b] \end{array} \right..$ Tìm max: $A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Tìm max: $A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Cho $\left\{ \begin{array}{l} 0<a\leq b\\ x,y,z \in [a;b] \end{array} \right..$ Tìm max: $A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
|
|
Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $a+b=2$, chứng minh : $$\frac{a^2}{(a+1)^2+5b}+\frac{b^2}{(b+1)^2+5a} \overset{(1)}{\ge} \frac 29 \overset{(2)}{\ge} \frac{a^2}{2(a+1)^2+b}+\frac{b^2}{2(b+1)^2+a}$$
Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $a+b=2$, chứng minh :$$\frac{a^2}{(a+1)^2+5b}+\frac{b^2}{(b+1)^2+5a} \overset{(1)}{\ge} \frac 29 \overset{(2)}{\ge} \frac{a^2}{2(a+1)^2+b}+\frac{b^2}{2(b+1)^2+a}$$
|
|
Cho a,b,c là các số thực dương . CMR:$\frac{a+b+c}{3}\leq \frac{1}{4}\sqrt[3]{\frac{(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}}{abc}}$
Cho a,b,c là các số thực dương .CMR:$\frac{a+b+c}{3}\leq \frac{1}{4}\sqrt[3]{\frac{(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}}{abc}}$
|
|
For positive real numbers $a,b,c.$ Prove that: $1+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
|
|
Cho $\left\{ \begin{array}{l} x,y,z\geq 1\\ x^2+y^2+z^2=6xy+2(x+y+z) \end{array} \right..$ Tìm min: $P=\frac{x+1}{y+z-1}+\frac{y+1}{z+x-1}+(\frac{x+y}{z})^2$
Cho $\left\{ \begin{array}{l} x,y,z\geq 1\\ x^2+y^2+z^2=6xy+2(x+y+z) \end{array} \right..$Tìm min: $P=\frac{x+1}{y+z-1}+\frac{y+1}{z+x-1}+(\frac{x+y}{z})^2$
|
|
Cho 3 số thực dương a;b;c thoả mãn :$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}\geq a^{2}b^{2}c^{2}$. Tìm GTNN của :A=$\frac{a^{2}b^{2}}{c^{3}(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{3}(b^{2}+c^{2})}+\frac{a^{2}c^{2}}{b^{3}(a^{2}+c^{2})}$
Cho 3 số thực dương a;b;c thoả mãn :$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}\geq a^{2}b^{2}c^{2}$.Tìm GTNN của :A=$\frac{a^{2}b^{2}}{c^{3}(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{3}(b^{2}+c^{2})}+\frac{a^{2}c^{2}}{b^{3}(a^{2}+c^{2})}$
|
|
Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn: $(3x+7y+1)^2+(x+4y+1)^2\le 9$.Chứng minh rằng:$\frac{-14}{5}\le x+y\le \frac{16}{5}$
|
|
\begin{cases}y^{4}+6y^{2}-x^{2}-7x-3=2(x+3)\sqrt{x+3} \\ (4x-1)(y^{2}+\sqrt[3]{3x+5})=4x^{2}+3x+8 \end{cases}
help!
\begin{cases}y^{4}+6y^{2}-x^{2}-7x-3=2(x+3)\sqrt{x+3} \\ (4x-1)(y^{2}+\sqrt[3]{3x+5})=4x^{2}+3x+8 \end{cases}
|